Математические методы экономики - готовые работы

ГлавнаяКаталог работМатематические методы экономики
fig
fig
Многие задачи оптимального планирования и управления (управление запасами, распределение ресурсов) могут быть представлены в виде некоторой сетевой модели, в которой каждому состоянию системы соответствует некоторая вершина сети, и задача оптимального планирования интерпретируется как задача нахождения кратчайшего маршрута в сети.
Рассмотрим для примера некоторую сеть, включающую вершин и
Рис. 1.
множество ориентирующих дуг, которые соединяют вершины между собой (см. рис.1.). Поставим в соответствие каждой допустимой стратегии в состоянии дугу . Перемещению по каждой дуге соответствует некоторый эффект (затраты) , причем примем, что время перемещения из в равно коэффициенту дисконтирования .
Пусть маршрут начинается в некоторой произвольно выбранной вершине . Предположим, что из вершины мы направляемся в вершину , причем дисконтированные затраты . Если процесс продолжается неограниченное время, маршрут является бесконечным. Обозначим через -- интегральные дисконтированные затраты (ИДЗ) для оптимального бесконечного маршрута, который начинается в вершине . Если принятая стратегия является стационарной, то каждый раз, возвратившись к вершине , мы снова выбираем ту же дугу, которая была выбрана при предыдущем заходе в эту вершину.
Пусть существует стационарная стратегия, которая является оптимальной, тогда соответствующая величина ИДЗ удовлетворяют следующей системе функциональных уравнений:
для всех вершин . (1.1)
Директору универмага нужно принять решение о том, какого вида рекламное объявление целесообразно поместить в местной газете – краткое или подробное – в зависимости от объема продаж текущей недели. Еженедельный объем продаж директор разделил на 3 группы: средний (А), выше среднего (В) и ниже среднего (С). Считается, что объем продаж текущей недели зависит в вероятностном смысле от объема продаж предыдущей недели и от категории рекламы. Вероятности объема продаж текущей недели приведены в таблице:
Объем продаж предыдущей недели Краткая реклама Подробная реклама
В А С В А С
В 0,2 0,5 0,3 0,6 0,3 0,1
А 0 0,6 0,4 0,4 0,5 0,1
С 0 0,3 0,7 0,2 0,7 0,1
Краткая реклама стоит 1000 рублей, подробная – 3000 рублей. Недельная прибыль (без учета затрат на рекламу) в зависимости от объема продаж:
Объем В А С
Прибыль 12000 1000 8000
Необходимо:
Определить оптимальную стратегию рекламы, максимизирующую чистую еженедельную прибыль при бесконечном плановом периоде.
найти, при каких затратах на краткую рекламу остается оптимальной стратегия, найденная в п. 1.
Определить, в каком диапазоне изменения недельной прибыли при объеме продаж А, В, С остается оптимальной стратегия, найденная в п. 1.
В последние годы наука уделяет все больше внимания вопросам организации и управления. Такой интерес обусловлен целым рядом причин, среди которых: быстрое развитие и усложнение техники, лавинообразное увеличение количества принимаемых управленческих решений и рост их значимости. В таких условиях значимость анализа проводимых на предприятиях процессов (в смысле оптимального управления ими) трудно переоценить.
Такие потребности практики вызвали к жизни специальные разделы математики, которыми раньше не интересовались. Один из таких разделов – «Исследование операций».
Одним из основных методов при исследовании операций является метод динамического программирования. Динамическое программирование (иначе еще называемое динамическим планированием) представляет собой особый математический метод поиска оптимальных решений, специально предназначенный для работы с многошаговыми (многоэтапными) операциями. Одной из ключевых особенностей рассматриваемых операций является то, что они являются управляемыми. Это означает, что на каждом шаге операции принимается какое-то решение, которое влияет на дальнейшую работу.
Одной из важных особенностей исследования операций как дисциплины является использование разнообразного математического аппарата: математический и даже функциональный анализ, теория вероятностей, методы оптимизации.
Использование такого широкого класса моделей и методов позволяет существенно облегчить процесс принятия правильных (с той или иной точки зрения) решений в ходе производственной деятельности.
В практической деятельности людей часто возникают конфликтные ситуации, когда нескольким участникам приходится взаимодействовать при обстоятельствах, в которых каждый из участников старается достичь своей цели своим доступным ему способом, но никто из них полностью не влияет на ход событий, т.е. исход борьбы лишь частично зависит от действий каждого участника. В конфликтной ситуации имеются несколько заинтересованных сторон, каждая из которых старается получить максимальный выигрыш. Такие ситуации возникают во время проведения обычных салонных игр, спортивных состязаний, в военном деле, в торговых отношениях, в экономической, хозяйственной и политической деятельности, в медицинском обслуживании и т.д.
Теория игр – это раздел математики, в котором исследуются вопросы поведения и вырабатываются оптимальные правила (стратегии) поведения для каждого из участников конфликтной ситуации. Разрешение противоречий с помощью теории игр возможно лишь после проведения математического моделирования ситуации в виде игры, а для их решения уже оказался недостаточным аппарат классического математического анализа нахождения экстремумов функции, и появилась необходимость развития новых математических методов нахождения оптимальных минимаксных решений, присущих теории игр.
Теория игр не охватывает все аспекты возникающих реальных ситуаций, тем не менее при определенном опыте многим ситуациям можно придать игровую схему и тем самым получить возможность ее исследования методами теории игр. В любой игровой схеме конкретной конфликтной ситуации каждый участник может выбирать по своему усмотрению те или иные действия, в зависимости от которых будет получаться тот или иной исход. Для анализа игры необходимо знать ее правила, количество игроков, их цели, возможные действия, последствия, выигрыши и т.д. Обычно анализ игры сводится к указанию наилучших стратегий и выигрышей для каждого игрока.
Довольно часто встречаются конфликты, участники которых преследуют различные, но не обязательно прямо противоположные интересы. Такие конфликты рассматриваются в теории лиц. Те игры, правила которых не предусматривают совместных действий отдельных групп игроков (коалиций), изучает теория бескоалиционных игр. В этих играх игроки стремятся к ситуациям равновесия, т.е. к таким ситуациям, отклонение от которых отдельного игрока, если остальные игроки не изменяют своих стратегий, может привести разве лишь к его проигрышу. Конечная бескоалиционная игра двух лиц называетя биматричной. Именно этим играм и будет посвящена курсовая работа.
Проведение экономического анализа крупного предприятия или целой отрасли экономики представляет собой очень сложную задачу, способы решения которой в настоящее время зачастую определяются современным состоянием информационных технологий. Данные, описывающие экономическое состояние предприятия достаточно обширны и для формулировки правильных и адекватных реальной рыночной ситуации, в которой функционирует предприятие, управленческих решений, требуется большое количество времени для их обработки. Поэтому для описания экономического состояния предприятия сначала необходимо осуществить задачу по сокращению количества признаков, описывающих эти состояния, причем таким образом, чтобы не ухудшить возможности решения задачи диагностики этих состояний. Такое описание исходного массива осуществляется за счет обнаружения скрытых функциональных или статистических связей между отдельными данными.
Для определения критерия отбора формальных признаков для адекватного описания экономического состояния предприятия, выделения существенных и несущественных признаков, построения решающих управляющих правил используют методы статистического анализа. Кроме того, данные, полученные в процессе формирования первичных статистических исследований, должны проверяться на предмет обнаружения грубых ошибок кодирования, локализации выбросов (возможных, но непредставительных наблюдений, из которых производится выборка) и для обнаружения свойств распределения каждой из переменных. Таким образом, решение задачи описания состояния экономического благополучия предприятия связано с использованием различных методов математической статистики.
Пояснительная записка курсовой работы построена следующим образом. В первом разделе сформулирована содержательная постановка задачи и осуществлен обзор методов применяющихся к анализу многомерных данных, а также более подробно описаны статистические предпосылки использования метода регрессионного анализа. В втором разделе приведен пошаговый алгоритм формирования модели линейной множественной регрессии, на основе которой строится предлагаемый в работе обобщенный показатель экономического благополучия того или иного предприятия.
1.1 Содержательная постановка задачи
В настоящее время не для кого не является секретом тот факт, что любая экономика (отдельного предприятия, отрасли промышленности или целой страны) представляет собой сложную многофункциональную систему, фундаментом которой есть сбалансированная совокупность взаимосвязанных, постоянно изменяющихся ее составляющих. Каждый компонент такой экономической системы функционирует не индивидуально, а в совокупности с другими элементами, подвергаясь влиянию многочисленных факторов. Поэтому для понимания функционирования экономики нельзя только ограничиваться изучением каждого её элемента в отдельности, а необходимо изучение во взаимосвязи всех её составляющих. Для этого широко применяются различные методы статистического анализа: дисперсионный, кластерный, ковариационный, факторный, корреляционный [1]. Краткие характеристики этих методов будут даны ниже.
Особо широко применяется регрессионный анализ, например, при построении, так называемых, индексов благополучия предприятий, что оказалось весьма удобным при исследовании динамики развития предприятий и анализе его состояния. Это связано, прежде всего, с тем, что состояние предприятия характеризуется вектором , компонентами которого являются экономические и производственные показатели. При анализе динамики развития предприятия данное обстоятельство вызывает известные трудности, связанные с анализом векторных переменных. Поэтому введение индексов (обобщенных показателей состояния предприятия) как скалярных функций вектора Y, существенно упрощает решение такого рода задач.
В связи с этим в данной работе предложена математическая модель построения обобщенного показателя, представленная в виде множественной линейной регрессионной модели. Предложен эффективный алгоритм оценки параметров данной регрессионной модели, адекватно описывающей множественную корреляционную взаимосвязь между обобщенным показателем и показателями экономического статуса предприятия.
1.2 Дисперсионный анализ
Целью дисперсионного анализа является проверка статистической значимости различия между средними (для групп или переменных). Эта проверка проводится с помощью разбиения суммы квадратов на компоненты, т.е. с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (то есть внутригрупповой изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Последняя компонента дисперсии затем используется для анализа статистической значимости различия между средними значениями. Если это различие значимо, нулевая гипотеза о равенстве средних значений в группах отвергается и принимается альтернативная гипотеза о существовании различия между средними [2].
1.3 Ковариационный анализ
Предположим, что сравниваются две экономические модели развития некоторых предприятий, которые отличаются формами собственности (ФС). Предположим также, что имеются дополнительные данные о предполагаемом доходе предприятия в запланированном периоде развития предприятия. Можно предположить, что уровень дохода (УД) связан с ФС, и использовать эту информацию. Для каждой из двух групп предприятий можно вычислить коэффициент корреляции между УД и ФС. Используя этот коэффициент корреляции, можно выделить долю дисперсии в группах, объясняемую УД и необъясняемую долю дисперсии. Оставшаяся доля дисперсии используется при проведении анализа как дисперсия ошибки. Если имеется корреляция между УД и ФС, то таким образом можно существенно уменьшить дисперсию ошибки.
– критерий оценивает статистическую значимость различия средних в группах, при этом вычисляется отношение межгрупповой дисперсии ( –ошибка) к дисперсии ошибок. Если –ошибка уменьшается, например, при учете фактора УД, значение F увеличивается.
Рассуждения, использованные выше для одной ковариаты (УД), легко распространяются на несколько ковариат. Например, кроме УД, можно включить другие экономические показатели (факторы) предприятия. Вместо обычного коэффициента корреляции при этом используется множественный коэффициент корреляции [3].
1.4 Кластерный анализ
Общий вопрос, задаваемый исследователями во многих областях, состоит в том, как организовать наблюдаемые экономические данные в наглядные структуры, т.е. развернуть таксономии (обычно в разведочном анализе) или определить кластеры схожих объектов. Например, биологи ставят цель разбить животных на различные виды, чтобы содержательно описать различия между ними, а экономистам необходимо грамотно обосновать различия, например, некоторых технологических процессов по выпуску одного и того же вида продукции.
Основная цель кластерного анализа - выделить в исходных многомерных данных такие однородные подмножества, чтобы объекты внутри группы были похожи друг на друга, а объекты из разных групп - не похожи. Под "похожестью" понимается близость объектов в многомерном пространстве признаков, и тогда задача сводится к выделению в этом пространстве естественных скоплений (кластеров) объектов, которые считаются однородными группами.
В кластерном анализе существует проблема измерения близости объектов. Основные трудности, возникающие при этом: неоднозначность выбора способа нормировки и определения расстояния между объектами.
Условия задач.
1.7. Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей X и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.–ч. в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.–ч., а для производства одной детали типа Y – 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.
Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y – 40 ден. ед.?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
2.7. Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип оборудования Нормы расхода ресурса на одно изделие Фонд раб. времени, ч.
А Б В Г
Токарное 2 1 1 3 300
Фрезерное 1 0 2 1 70
Шлифовальное 1 2 1 0 340
Цена изделия 8 3 2 1
Требуется:
1)Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2)Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3)Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4)На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
•определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;
•оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 11 ед., если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 ед. соответственно.
3.7. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие -продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки (i=l,2,3; j=l,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции .
Требуется:
1) Проверить продуктивность технологической матрицы (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Предприятия (виды продукции) Коэффициенты прямых затрат
Конечный продукт
1 2 3
1 0,1 0,2 0,4 100
2 0,0 0,4 0,1 200
3 0,1 0,3 0,4 100
4.7. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Yft) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Yft) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице.
Номер варианта Номер наблюдения ( t = 1,2,...,9)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 20 27 30 41 45 51 51 55 61
Требуется:
1)Проверить наличие аномальных наблюдений;
2)Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( – расчетные, смоделированные значения временного ряда);
3)Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания 0,4 и 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания ;
4)Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7);
5)Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;
6)По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности =70%);
7)Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
5.7. Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств: телевидения, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов, которые проводились в прошлом, известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 у.е. в расчете на 1 у.е., затраченную на рекламу.
Распределение рекламного бюджета по различным средствам подчинено следующим ограничениям:
а)полный бюджет не должен превосходить 500 000 у.е.;
б)следует расходовать не более 40 % бюджета на телевидение и не более 20 % бюджета на афиши;
в)вследствие привлекательности для подростков радио на него следует расходовать, по крайней мере, половину того, что планируется на телевидение.
Сформулируйте задачу распределения средств по различным источникам как задачу линейного программирования и решите ее.
6.7. В распоряжении некоторой компании имеется 6 торговых точек и 5 продавцов. Из прошлого опыта известно, что эффективность работы продавцов в различных торговых точках неодинакова. Коммерческий директор компании произвел оценку деятельности каждого продавца в каждой торговой точке. Результаты этой оценки представлены в таблице.
Прода–вец Объемы продаж по торговым точкам,
USD/тыс. шт.

I II III
72 75
60 58 III 40
42 47
70 68 IV V VI
А 68 72 75 83 75 69
В 56 60 58 63 61 59
С 35 38 40 45 25 27
D 40 42 47 45 53 36
Е 62 70 68 67 69 70
Как коммерческий директор должен осуществить назначение продавцов по торговым точкам, чтобы достичь максимального объема продаж?
7.7. Необходимо решить транспортную задачу: минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной единицы продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе.
Таблица тарифов на перевозку продукции и объёмов запасов на складе и заказов.
Магазин
Склад Новго–род Москва Самара Саратов Тверь Запасы складов
(ед. прод.)
Нижний Новгород 4 0,5 2 1 3 35
Саратов 5 2 0,5 0 2 25
Самара 4 2 0 0,5 2 30
Санкт-Петербург 2 1 4 4,5 3 40
Объём заказа (ед. прод.) 30 15 25 30 25
Головна задача курсу \"Математична економiка\" полягає в ознайомленнi з основними типами мiкро- та макро-економiчних моделей оптимiзацiї суспiльного виробництва в умовах ринкової економiки.
Наведено лабораторнi роботи дослiдницького характеру для студентiв третього курсу денної форми навчання спецiальностей \"Прикладна математика\" і \"Системний аналiз та управлiння\". Мета проведення робiт - опанування сучасними методами математичного моделювання залежностей змiни попиту вiд цiн і прибутку, використання апарату виробничих функцiй, формальних умов загальної економiчної рiвноваги, правил оптимiзацiї загальних пропорцiй вiдтворювання.
Лабораторнi роботи виконуються на персональних ЕОМ. Звiт з лабораторної роботи повинен мiстити: iндивiдуальне завдання, теоретичний аналiз, приклади обчислення 3-х iтерацiй алгоритму (якщо це необхiдно), текст програми алгоритмiчною мовою, результати розв\'язання задачi, аналiз результатiв i висновки.
1 ПОБУДОВА ФУНКЦIЇ ПОПИТУ. ВИВЧЕННЯ
Большинство приверженцев теории Эллиота сходятся во мнении, что последний Великий сверхцикл начался в 1932 году и последняя пятая волна этого цикла началась в основании рынка в 1982 году. Однако после 1982 года мнения стали расходиться. Многие сочли октябрьский крах 1987 года завершением цикла. Но последовавшее энергичное восстановление рынка заставило их пересмотреть результаты отсчета волн. В этом и заключается слабая сторона теории волн Эллиота - ее прогностическая ценность зависит от точности отсчета волн. Определение же начала одной волны и конца другой носит порой весьма субъективный характер.
Введение
Математическое моделирование – это изучение объектов с первой математической модели.
Математическая модель является отображением изучаемого процесса с помощью формул, алгоритмов, графиков, символов, функций, матриц и т.д. Эти формулы преобразуются с принятых правил математики и логики.
В современных экономических исследованиях среди различных форм моделирования преобладает математическое моделирование. С развитием компьютерной математики и технологий появляются новые математические методы и технологии, позволяющие строить математические модели более адекватно и эффективно.
Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.
Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования.
Узнайте стоимость работы онлайн!
Предлагаем узнать стоимость вашей работы прямо сейчас.
Это не займёт
много времени.
Узнать стоимость
girl

Наши гарантии:

Финансовая защищенность
Опытные специалисты
Тщательная проверка качества
Тайна сотрудничества