Математика - готовые работы

fig
fig
Найти точное решение оптимизационной задачи
методом Эйлера и её приближённое решение методом условного градиента, взяв в качестве начального приближения точку.
б) Найти точное решение оптимизационной задачи
графоаналитическим методом и её приближённое решение методом отсекающих плоскостей Келли.
Метод переменной метрики реализован в пакете Waterloo Maple 8. При расчете параметра использовался метод дихотомии одномерной минимизации на отрезке с точностью . Для выполнения 18-и итераций, в результате чего получено решение с точностью понадобилось около 12-и секунд. На рис. 1 изображены линии уровня целевой функции (заливка светлеет в сторону возрастания функции), функция ограничения, а также графическая иллюстрация итерационного процесса.
Следует отметить, что сходимость метода сильно зависит от начальной матрицы аппроксимации и слабо зависит от начального условия. Метод вычисления квазиньютоновской матрицы обеспечивает ее положительную определенность на каждой итерации алгоритма.
При далеко отстоящих точках, как, например, на рис.2 можно заметить, что алгоритм «стремится» занять множество точек, градиент целевой функции в которых наибольший, а уже потом выйти на точку – решение задачи, при чем сказанное становится актуальнее при удалении начального приближения от оптимума (см. рис. 2). Такое поведение обусловлено методом решения: вблизи кривой ограничения влияние ограничения мало и метод развивается в сторону безусловного минимума, но с удалением процесса от ограничивающей функции сказывается наличие штрафной функции, метод быстро находит точку условного минимума.
Сказанное выше также можно заметить при смещении целевой функции по оси . Итерационный процесс на третьей итерации достигает наименьшего за историю процесса значения целевой функции, а затем возвращается в точку решения (см. рис. 3 и рис.4).
Интересной особенностью метода является его поведение в случае, когда начальное приближение расположено вблизи оптимума. Как видно из рис. 5 близость к решению слабо сказывается на сходимости: имеет место тот же скачок в сторону глобального минимума целевой функции со стремлением занять траекторию на градиенте.
В случае начального приближения внутри области в нижней полуплоскости наблюдается та же картина (см. рис. 6), но предварительно происходит выход из области ограничения.
Необходимо отметить также тот факт, что при размещении начального приближения в начале координат программа отказывается работать, так как не может решить систему уравнений, состоящую из производных функции Лагранжа задачи квадратичного программирования. Система оказывается несовместной, но даже при малом отклонении от начала координат в сторону увеличения переменной решение будет найдено за сравнительно малое число итераций (для начального значения решение было найдено за две итерации).
Эмпирическим путем установлен факт существования области начальных значений, для элементов которой метод находит точку . Эта область включает в себя отрицательный луч оси , а также некоторую область, содержащую этот луч. Причина данного явления заключается в том, что для этой области рано или поздно нарушается условие унимодальности для штрафной функции при поиске параметра (см. рис. 7). Для устранения этого недостатка нужно либо применить иную процедуру минимизации, подходящую для не унимодальных функций (по крайней мере, для ступенчатых, поскольку в исследованных случаях получается именно ступенчатая функция), либо же принять постоянно . При этом поведение процесса будет несколько беспорядочным, но верное решение все же будет найдено (рис. 8).Итак, в данном разделе были получены некоторые результаты по реализации и условиях работы метода переменной метрики, эмпирическим путем установлены и исследованы особенности работы метода. Метод эффективен для задач высокой размерности, поскольку при пересчете квазиньютоновской матрицы используется быстрый метод, сохраняющий ее положительную определенность. При реализации метода следует учитывать возможность неунимодальности промежуточной функции поиска , а также необходимость разрешимости задачи о седловой точке функции Лагранжа.
Постановка задачи
Общая задача математического программирования имеет следующий вид:

Здесь – минимизируемая функция, – область допустимых решений.
1.2 Дифференциальный алгоритм
1.2.1 Переменные состояния и переменные решения
Область допустимых решений состоит из всех точек , которые удовлетворяют системе уравнений (1.1.2). В каждой окрестности точки имеется два типа точек: точки, не принадлежащие области , для которых , и точки, принадлежащие ей, для которых . Разобьем вектор на два составляющих вектора: , где – -мерный, а – -мерный ( ) векторы. Составляющие вектора называются переменными состояния (зависимыми переменными), а составляющие вектора – переменными решения (независимыми переменными).
Пусть в качестве переменных состояния взяты первые составляющих вектора . Тогда
,
.
Разложим функцию и ограничения в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничиваясь линейными членами:
, (1.2.1)
. (1.2.2)
Здесь – матрицы Якоби (размерности ) и управления (размерности ) соответственно:
, .
Выражение (1.2.2) равно нулю, поскольку нас интересует изменения функций (1.1.2), не выходящие из области допустимых решений .
Система уравнений (1.2.1), (1.2.2) представляет собой линейное уравнение c неизвестным. Считаем, что эти уравнения линейно независимы; в противном случае берем их наибольшее число, образующее линейно независимую систему, пренебрегая остальными как избыточными. Отсюда, очевидно, автоматически исключается случай , когда число уравнений больше числа неизвестных, а не представляет интереса, поскольку единственно возможное решение есть , то есть не существует допустимой окрестности в области задания вообще, что выражается в (1.1.2).
В общем случае разбиение на переменные состояния и решения производится произвольно. Единственное условие, которое при этом необходимо соблюдать, – неособенность матрицы Якоби: . Должно быть ровно зависимых и независимых переменных, но для решения рассматриваемой проблемы не имеет значения, какие из переменных к какой категории относятся, если выполнено данное условие. В конкретной ситуации иногда ясно, какие из переменных должны быть зависимыми, а какие – независимыми.
Как бы не были выбраны независимые переменные, любые значения их приращений позволяют определить в результате решения системы (1.2.2) единственный ряд изменений зависимых переменных , не выводящих новую точку из заданной области. После этого результирующее изменение , вычисленное в соответствии с уравнением (1.2.1), можно использовать для анализа изменения критерия, чтобы увидеть, приводят ли указанные изменения к ее улучшению.
Переменные решения можно изменять свободно, в то время как основное назначение переменных состояния – удержать новую точку в заданной области. Произвольное изменение более чем переменных выведет точку из заданной области . Задание менее переменных приводит к бесконечному множеству решений и к невозможности найти местоположение новой точки. Точное число независимых переменных (решений) называется числом степеней свободы системы. Каждое дополнительное ограничение уменьшает данное число и снижает число независимых переменных на единицу, упрощая тем самым проблему оптимизации.
Многие важные задачи целочисленного программирования можно описать следующим образом:
Максимизировать
(1.1)
при ограничениях
, i = 1, 2, . . . , m, (1.2)
где условия целочисленности сведены к
0,
= j = 1, 2, . . . , n. (1.3)
1,
Предположим, что любой коэффициент есть целое число (этого всегда можно добиться, выбрав правильный масштаб целевой функции при условии, что исходные значения коэффициентов заданы рациональными числами).
Модели распределения капиталовложений часто можно представить в виде (1.1) – (1.3). Кроме того, многие полностью целочисленные задачи можно преобразовать таким образом, чтобы каждая пере
В данной курсовой работе детально рассмотрены метод решения задачи нелинейного программирования - метод проекции градиента (метод Розена), а также, для сравнения полученных результатов в практической части, кратко изложен графоаналитический метод - метод решения задачи условной оптимизации. В теоретической части представлена суть метода Розена, а также основные расчетные формулы. В вычислительной части приведен пример решения задачи нелинейного программирования каждым методом в отдельности. В приложениях представлены листинг программы, реализующий вышеуказанный метод, а также результаты работы данной программы. Изложенный ниже материал может быть использован студентами в качестве примера при изучении важного раздела курса “Методов оптимизации” – математического программирования.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Max 60x1 + 60x2 + 40x3 + 10x4 + 20x5 + 10x6 +3x7
при ограничениях
3x1 + 5x2 + 4x3 + 1x4 + 4x5 + 3x6 + 1x7  10,
все xj = 0,1.
Следует обратить внимание на два основных различия между методом ветвей и границ и методом частичного перебора.
Во-первых, в аддитивном алгоритме требуется выполнение только операций сложения и вычитания. Выбор на шагах 1 и 4 может основываться на информации, полученной из оптимального решения задачи линейного программирования (3.1), (3.2) и ограничении 0  xj  1.
Во-вторых, каждое частичное решение удовлетворяет условиям целочисленности, но в отличие от метода, основанного на решении задач линейного программирования, может не удовлетворять линейным неравенствам (3.2). Применяя удачные правила выбора на шагах 1 и 4, с помощью аддитивного алгоритма можно найти допустимое по всем ограничениям и близкое к оптимальному решение на начальной итерации.
Для реализации вышеизложенных методов целочисленного булевого программирования на практике были написаны две программы на языке Turbo Pascal 7.0. Текст программы, реализующий алгоритм метода ветвей и границ, можно посмотреть в приложении А, а результаты решения задачи приведены в приложении Б. Текст программы, реализующий алгоритм частичного перебора находится в приложении В, а результаты решения задачи приведены в приложении Г.
Для удобства анализа полученных результатов при использовании алгоритма, основанного на методе ветвей и границ, ход итераций представим графически в виде дерева.
В сборнике представлен набор задач и примеров, который может быть использован на семинарских занятиях в качестве задач и примеров по курсу «Геометрия и топология». Приложение сборника содержит образцы тестовых заданий, которые можно использовать во время проведения зачетных заня-тий. Пособие предназначено для студентов и слушателей всех форм обуче-ния, в том числе с использованием дистанционных образовательных техно-логий, а также для преподавателей высших учебных заведений.
Пример 1. Заданы точки и . Найти .
Решение. ;
.
Пример 2. Найти , если .
Решение. Используя свойства и определение скалярного произведения, имеем



Пример 3. В треугольнике с вершинами , , найти косинус угла при вершине .
Решение. , , тогда
.
Пример 4. Вычислить определитель третьего порядка

путем разложения по элементам первой строки и непосредственно.
Решение. Разложив определитель по элементам первой строки, получим

Этот же ответ получим непосредственно:
.
Пример 5. Вычислить площадь треугольника АВС, где , , .
Решение. Считаем, что , . Тогда
,
откуда
( кв.ед.).
Пример 6. Заданы вершины треугольной пирамиды , , , . Найти ее объем.
Решение.
, , .
.
Поэтому, объем треугольной пирамиды (куб. ед.).
Пример 7. Показать, что вектора , , составляют базис в .
Решение. Считая, что базисом в являются три некомпланарных вектора, решение сводится к проверке выполнения условия компланарн
Линейное преобразование переменных в квадратичной форме.
В этом пункте разберем, что произойдет с квадратичной формой f, если входящие в неё неизвестные x1, x2, … , xn будут подвергнуты линейному преобразованию с вещественной матрицей Q.
Узнайте стоимость работы онлайн!
Предлагаем узнать стоимость вашей работы прямо сейчас.
Это не займёт
много времени.
Узнать стоимость
girl

Наши гарантии:

Финансовая защищенность
Опытные специалисты
Тщательная проверка качества
Тайна сотрудничества