Математические методы экономики - готовые работы

ГлавнаяКаталог работМатематические методы экономики
fig
fig
1.2.1. Моделирование задач принятия решений
Принятие решений в условиях определенности производится при наличии полной и достоверной информации о проблемной ситуации, целях, ограничениях и исходах реше-ний. Для данного класса задач существует однозначная связь альтернативного решения с соответствующим исходом , поэтому для выбора лучшего решения доста-точно иметь правило для оценки исходов, однозначно связанных с целями и средствами их достижения. При этом выбор наилучшего варианта решения сводится к определению тех управляемых переменных (параметров, приемов, способов действий), описывающих цели и средства системы, которые приводят к наилучшему в данных условиях результату. Цели и ограничения формально определяются в виде целевых функций и функциональ-ных неравенств и равенств, ограничивающих средства достижения цели. Критерий выбора решения определяется минимумом или максимумом целевой функции. Наличие перечис-ленной информации позволяет построить формальную математическую модель задачи принятия решений и алгоритмически найти оптимальные решения. Процесс построения модели, отражающей реальную связь элементов системы управления, называют модели-рованием. Моделированием задач принятия решений в условиях определенности занима-ется научная дисциплина «Исследование операций». Операцией при этом является любое целенаправленное действие.
Исследование операций представляет собой комплекс научных методов количест-венного обоснования принимаемых решений по управлению организациями. Каждый из этих методов имеет свою область применения, и на их базе строятся соответствующие ма-тематические модели управленческих задач. Математическая модель решения задачи служит для выяснения количественных оценок предполагаемых действий. Формализация задачи в принципе может иметь два крайних случая. В первом случае в распоряжении субъекта управления к моменту получения задачи имеется формальная модель, подходя-щая для описания возникшей ситуации; во втором – такой готовой модели нет, но есть время для ее составления. В практике же, как правило, наблюдается промежуточное по-ложение, т.е. имеются модели, частично пригодные для формализации возникшей ситуа-ции.
Как при составлении новой модели, так и при анализе имеющихся моделей субъек-ту управления необходимо решить следующие вопросы:
• уяснить характер задачи, ее структуру;
• выбрать математический аппарат, используемый для формализации;
• установить ограничения и допущения, принятые при составлении формаль-ной модели;
• сравнить модель с реальной ситуацией.
В качестве основных количественных методов обоснования управленческих реше-ний для ЗПР в условиях определенности являются методы математического программиро-вания. Общая постановка однокритериальных детерминированных задач принятия реше-ний полностью совпадает с общей постановкой задач математического программирования (ЗМП). Поэтому весь арсенал математических методов, разрабатываемых для решения ЗМП, может и должен быть использован для решения ЗПР этого класса.
Сделаем общую постановку задачи математического программирования (МП).
Пусть – переменные (неизвестные) величины, которые характеризуют систему управления;
– целевая функция, цель управления системы;
– ограничения, накладываемые системой на неизвест-ные величины, где – константы, – возможные отношения .
Необходимо найти вектор управления (план) , который максимизи-рует (минимизирует) целевую функцию и удовлетворяет системе ограничений . На неизвестные величины могут быть наложены условия неотрицатель-ности . Объединение всех ограничений, накладываемых на неизвестные ве-личины, называют областью допустимых решений и обозначают буквой , т.е. . Таким образом, общая детерминированная модель математического программирования примет вид:
.
Допустимый план , доставляющий экстремальное значение целевой функции (критерию оптимальности), называется оптимальным.
Если целевая функция и функции, входящие в систему ограничений , являются линейными относительно искомого плана , то такой раздел МП называется линейным программированием (ЛП), иначе, если хотя бы одна из функций нелинейного вида, то такой раздел МП называется нелинейным программированием (НЛП). Если про-цесс принятия решений имеет многошаговый характер и возможные изменения состояния системы можно представить в виде графовой модели, то такие задачи решаются методом динамичного программирования (ДП).
Из всего многообразия задач ПР в условиях определенности [1, 2] рассмотрим за-дачи следующих классов:
1) задачи распределения (задача использования ресурсов, транспортная задача, о назначениях);
2) задачи выбора маршрута;
3) упорядочения и согласования.
1.2.2. Задачи распределения
Задачи этого класса связаны с распределением и использованием ограниченных ре-сурсов на выполнение каких-то работ с целью минимизации общих затрат, связанных с выполнением этих работ, либо максимизации общего дохода, связанного с ожидаемыми результатами труда.
Рассмотрим в качестве примера следующую ситуацию.
Две мебельные фабрики, входящие в одно объединение и расположенные в различ-ных регионах, планируют выпуск продукции двух видов (столы и шкафы) каждой фабри-кой. Для их изготовления необходимы ресурсы трех видов (пиломатериал, шурупы, крас-ка), которые поставляются от нескольких специализированных предприятий, расположен-ных также в различных регионах. Доставка ресурсов на фабрики возможна различным транспортом с соответствующими затратами и в ограниченном количестве. Каждая из фабрик в силу своих особенностей характеризуется своими нормативными показателями расхода ресурсов на выпуск одной единицы продукции.
При заданных ценах на сырье и продукцию и при неограниченном сбыте и наличии сырья необходимо максимизировать прибыль работы объединения.
Сложную ситуацию можно упростить, если рассмотрим отдельно прослеживаю-щиеся здесь задачи: использования ресурсов на фабрике для выпуска продукции; подбор транспорта и доставка ресурсов до фабрик.
Задача использования ресурсов
Пусть мебельная фабрика изготавливает два вида продуктов: столы и шкафы. Для их производства используется три вида ресурсов (пиломатериал, шурупы, краска). Будем считать, что месячные запасы ресурсов ограничены: пиломатериал – величиной ( ), шурупы – (кг), краска – (кг). Расходы соответствующих ресурсов на изготовление одной единицы соответствующих продуктов известны и задаются таблицей (матрицей) . Прибыль (доход) от выпуска единицы соответствующей продукции задана: для стола она равна (руб./шт.), для шкафа – (руб./шт.). Требуется определить план выпуска про-дукции каждого вида, максимизирующий доход фабрики.
Построение математической модели.
При построении математической модели для решения поставленной задачи необхо-димо дать ответы на следующие вопросы [2]:
1) для определения каких переменных (искомых величин) должна быть построена модель;
2) какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы;
3) в чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений пере-менных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи.
Выразим словесно суть проблемы в разрезе поставленных вопросов и приступим к формализованному описанию задачи (рис. 1.2).

Рис. 1.2  Формализованное описание задачи
Фабрике требуется определить объемы производства (в шт.) столов и шкафов, мак-симизирующие доход (в рублях) от их реализации, с учетом ограничений на расход ис-ходных ресурсов.
Переменные. Так как нужно определить объемы производства каждого вида про-дукта, введем переменные:
– месячный объем производства столов (шт.);
– месячный объем производства шкафов (шт.).
Целевая функция. Если доход от реализации одного стола равен рублей, то от реализации столов в объеме штук месячный доход составит рублей. Аналогично, месячный доход от реализации шкафов составит рублей. Обозначив общий доход (в руб.) через , можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения и , максимизирующие величину общего дохода .
Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограни-чения на расход ресурсов. Пиломатериал идет на изготовление столов и шкафов. На один стол идет пиломатериала, тогда на столы в количестве штук потребуется пиломатериала. На изготовление шкафов в количестве штук потребуется пи-ломатериала. Всего пиломатериала потребуется . Расход его не должен превышать величины .
4.1. Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем
Социально-экономическая система — сложная вероятностная динамическая система, которая охватывает процессы производства, обмена и потребления материальных и других благ. Она относится к классу кибернетических систем, т.е. систем управления с обратной связью.
Система – это комплекс взаимосвязанных подсистем и их элементов вместе с отношениями между ними. Перечислим основные свойства системы:
• целостность системы (принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств ее элементов);
• наличие цели и критерия исследования множества элементов;
• наличие внешней по отношению к системе среды;
• возможность выделения в системе взаимосвязанных частей (подсистем).
Моделирование – один из способов исследования систем. Модель – образ реальной системы (объекта, процесса) в материальной или теоретической форме. Этот образ отражает существенные свойства объекта, он замещает реальный объект в ходе исследования и управления. Моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения реального объекта (системы) не непосредственно, а опосредованно, через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта (модели).
Целью моделирования является повышение эффективности управления экономикой на разных уровнях управления. Экономическое управление осуществляется на макро- и микроэкономическом уровнях. На макроуровне объектами управления являются народное хозяйство в целом, отрасли и сектора экономики, на микроуровне – предприятия и рынки.
К основным функциям управления экономическими объектами (системами) относятся:
• сбор и обработка информации об объекте управления;
• анализ и оценка информации об объекте управления;
• прогнозирование развития объекта;
• программирование развития объекта;
• планирование развития объекта;
• регулирование развития объекта.
Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:
• анализ экономических объектов и процессов;
• прогнозирование экономических процессов;
• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.
Математической моделью объекта управления называется одно либо несколько математических уравнений, которые задают связи между наиболее существенными для управления показателями объекта. По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические методы и модели. Различие между ними состоит в решаемых с их помощью задачах и применяемых методах.
Экономико-математические модели включают в себя целевые критерии, уравнения, неравенства и ограничения, описывающие функционирование объекта, а также соотношения между показателями, обусловленные существующими экономическими зависимостями между ними.
Для разработки экономико-математических моделей используют аппарат математического программирования, теории планирования и управления и др.
Экономико-статистические модели связаны с анализом статистических данных об объекте управления. Эти модели устанавливают статистические связи, существующие между показателями объекта. Для разработки экономико-статистических моделей используют аппарат математической статистики и теории вероятностей.
К экономико-математическим методам относятся методы линейной алгебры, математического (линейного и нелинейного) программирования, теории вероятностей и математической статистики, методы экономической кибернетики, методы теории игр и принятия решений и др.
Этапами экономико-математического моделирования являются:
1. Постановка экономико-математической проблемы и ее качественный анализ.
2. Построение математической модели.
3. Аналитический анализ модели.
4. Подготовка исходной информации к численному решению.
5. Численное решение.
6. Анализ численных результатов.
4.2. Математическое программирование
Математическое программирование занимается изучением экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом : найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x1, x2, ... , xn ) при ограничениях gi ( x1, x2, ... , xn )  bi , где gi — функция, описывающая ограничения,  - один из следующих знаков  ,  ,  , а bi — действительное число, i = 1, ... , m. f называется функцией цели ( целевая функция ).
Линейное программирование — это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.
Задачу линейного программирования можно сформулировать так: Найти
при условии:

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.
В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max cT x
при условии
A x  b ;
x  0 ,
где А — матрица ограничений размером ( mn), b(m1) — вектор-столбец свободных членов, x(n  1) — вектор переменных, сТ = [c1, c2, ... , cn ] — вектор-строка коэффициентов целевой функции.
Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется условие сТ х0  сТ х , для всех х  R(x).
Поскольку min f(x) эквивалентен max [- f(x)], то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.
Для решения задач данного типа применяются методы:
1) графический;
2) табличный (прямой, простой) симплекс-метод;
3) метод искусственного базиса;
4) модифицированный симплекс-метод;
5) двойственный симплекс-метод.
4.2.1. Графический метод решения
Рассмотрим основную задачу линейного программирования (ОЗЛП): найти неотрицательные значения переменных x1, x2, …, xn, удовлетворяющие m условиям – равенствам:
a11 x1+a12 x2+…+a1n xn=b1,
a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2, (4.1.)
…………………………...
am1 x1+am2 x2+…+amn xn=bm
и обращающие в максимум линейную функцию этих переменных:
(4.2.)
Для простоты предположим, что все условия (4.1.) линейно независимы (r=m), и будем вести рассуждения в этом предположении.
Назовём ДОПУСТИМЫМ решением ОЗЛП всякую совокупность неотрицательных значений x1, x2, …, xn, удовлетворяющую условиям (4.1.).
ОПТИМАЛЬНЫМ назовём то из допустимых решений, которое обращает в максимум функцию (4.2.).
Требуется найти оптимальное решение. Всегда ли эта задача имеет решение? Нет, не всегда.
1. Может оказаться, что уравнения (4.1.) вообще несовместимы (противоречат друг другу).
2. Может оказаться и так, что они совместимы, но не в области неотрицательных решений, т.е. не существует ни одной совокупности чисел x10, x20, …, xn0, удовлетворяющей условиям (4.1.).
3. Наконец, может быть и так, что допустимые решения ОЗЛП существуют, но среди них нет оптимального: функция L в области допустимых решений не ограничена сверху.

Рис. 4.1.
Чтобы представить себе принципиальную сторону ОЗЛП, обратимся к геометрической интерпретации. Пусть число уравнений m на два меньше числа переменных n (n-m=k=2). Такой частный случай даёт возможность геометрической интерпретации ОЗЛП на плоскости.
Определите:
•средний размер вклада;
•модальное значение признака;
•уровень дифференциации вкладчиков по размеру вклада (как
отношение девятого дециля к первому)
•дисперсию способом моментов.
2. Формулировка задачи о назначениях.
Задача.
Рассмотрим такую задачу. Фирме необходимо заполнить m вакантных должностей, на которые имеются n претендентов. Каждый из них может занять любую, но одну из предлагаемых должностей. Пусть претенденты и должности пронумерованы соответственно последовательными числами от 0 до n-1 и от 0 до m-1. В силу многих обстоятельств (способности, образование, опыт, коммуникабельность и т.п.) полезность каждого кандидата для фирмы зависит от должности, на которую он будет назначен. Пусть возможный доход фирмы за конкретный промежуток времени при принятии претендента j (j=0,1,…,n-1) на должность i (i=0,1,…,m-1) известен и равен Ui,j. Матрицу U = || Ui,j || (i = 0,1,…,m-1; j = 0,1,…,n-1) назовем матрицей доходов. Если nm, то n-m претендентов работу не получат. Определить такое назначение работников на должности, при котором фирма будет иметь наибольший доход. Подобное назначение называют оптимальным, а саму задачу  задачей о назначении.
Для данной задачи требуется определить наименьшее время, за которое будет разработано пять программ каждым из пяти программистами. Остальные условия соответствуют условиям задачи о назначениях.
Задача 4. Фирма получила заказы на разработку пяти программных продуктов. На фирме работают пять квалифицированных программистов, которым можно поручить выполнение этих заказов. Каждый программист дал оценку времени (в днях), которое ему требуется для разработки программ. Эти оценки приведены в таблице.
Программа 1 2 3 4 5
Программист
Волков 46 59 24 62 67
Лисицын 47 56 32 55 70
Медведев 44 52 19 61 60
Зайцев 47 59 17 64 73
Барсуков 43 65 20 60 75
Выполнение каждого из пяти заказов фирма решила поручить одному программисту. Требуется распределить работу между программистами так, чтобы суммарное время, затраченное ими на разработку всех программ, было минимальным.
Решение данной задачи рассмотрим в следующем пункте.
3. Решение задачи о назначениях с использованием Mathcad.

Пусть претенденты и должности пронумерованы соответственно последовательными числами от 0 до n-1 и от 0 до m-1 (см. рис.7). В силу многих обстоятельств (способности, образование, опыт, коммуникабельность и т.п.) полезность каждого кандидата для фирмы зависит от должности, на которую он будет назначен [3,4]. Пусть возможный доход фирмы за конкретный промежуток времени при принятии претендента j (j=0,1,…,n-1) на должность i (i=0,1,…,m-1) известен и равен Ui,j. Матрицу U = || Ui,j || (i = 0,1,…,m-1; j = 0,1,…,n-1) назовем матрицей доходов. Если nm, то n-m претендентов работу не получат. Определить такое назначение работников на должности, при котором фирма будет иметь наибольший доход. Подобное назначение называют оптимальным, а саму задачу  задачей о назначении []. Ясно, что оптимальное решение может оказаться не единственным.
Написать рекурсивную программу-функцию, находящую одно из оптимальных решений задачи о назначениях при n претендентах, m должностях и матрице доходов U = || Ui,j || (i = 0,1,…,m-1; j = 0,1,…,n-1).
Пусть матрица доходов U определена вне программы, то есть искомые функции могут считать её глобальным параметром.
Рассмотрим сначала случай n=m. Решением задачи могут служить функция assign() с рекурсией по номерам работников и программа-константа assign. Поскольку в данной ситуации и рекурсия, и возвраты назад реализуются по той же самой схеме, что и в предыдущих задачах, ограничимся лишь описанием параметров функции assign() и их начальных значений, подготавливаемых программой-константой assign. Решение задачи возвращается в виде вектора ot = (ot0, ot1 ,..., otn-1, otn)T, где otj  номер должности для работника с номером j (j = 0, 1, …, n-1), а otn доход от данного оптимального назначения.
Основные методы решения определенных интегралов.
1. Непосредственное интегрирование.
Этот способ основан на использовании свойств определенного интегра-ла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тож-дественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница.
2. Интегрирование подстановкой.
Для решения определенного интеграла методом подста-новки заменяют g(x)=t; dt=g'(x)dx и находят пределы изменения переменной t при изменении x от a до b из соотношений: g(a)=α и g(b)=β.
Тогда = , где F(t)-первообразная функции f(g(x))=f(t).
3. Интегрирование по частям.
При этом способе используют формулу: (**)
Подробные рекомендации по решению интегралов по частям даны в описании этого метода применительно к неопределенным интегралам.
Рассмотрим решение типовых задач.
Задача 1. Вычислить
Решение. Данный интеграл решим непосредственным интегрировани-ем. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:
= .
Применим свойства 6 и 5, в результате чего получим

Так как оба интеграла табличные, записываем первообразные функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Задача 2. Вычислить
Решение. Решаем интеграл методом подстановки. Введем новую пере-менную t=4-x и продифференцируем данное равенство: dt=d(4-x); dx=-dt. Найдем новые пределы интегрирования из соотношения t= 4-x: при x1=0 по-лучаем t1=4,
при x2=2 получаем t2=2.
Делаем замену переменной в заданном интеграле:

Избавимся от знака минус перед интегралом, воспользовавшись свой-ством 3:

Задача 3. Вычислить
Решение. Будем решать интеграл методом интегрирования по частям. Обозначим lnx=u, dx=dv и найдем du=d(lnx)=dx/x и v=∫dx=x. Применяя к за-данному интегралу формулу интегрирования по частям, получим
.
Рассмотрим задачи на геометрические приложения определенного ин-теграла.
Задача 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Y=x-x2, y=0.
Решение. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функ-ции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью OX, равна

Найдем координаты точек пересечения графиков:
x-x2=0, x1=0, x2=1.
A(0,0), B(1,0).
Преобразуем уравнение параболы.
Y=-(x2-x+1/4)+1/4, y-1/4=-(x-1/2)2.

Задача 5. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение. Найдем точки пересечения кривых.
Решаем биквадратное
уравнение.

т.к. значение должно быть положительным,
Таким образом, Ординаты этих значений
равны:

Вычислим площадь фигуры:


ед2.
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями

Решение.
Построим графики заданных функций.

Рис. 6.
Т.к. фигура лежит ниже оси ОХ, формула вычисления площади имеет вид:

Первое слагаемое есть площадь прямоугольника со сторонами 4 и 2, т.к. при y=-2 x=4, т.е. M(4; -2) – точка пересечения линий.
Задача 7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограни-ченной линиями y=e-x, y=0, x=0, x=1 вокруг оси OX.
Решение.
Используем формулу вычисления объема тела вращения:
(2)
Тогда, по формуле (2), искомый объем

Задача 8. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

Решение.
Интеграл имеет особенность в точке x= , т.к. .

Разложим подинтегральную дробь на простейшие.
Задача 1
Завод – производитель высокоточных элементов для автомобилей – выпускает два различных типа деталей Х и У. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч.в неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа У - 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа У в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа У необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.
Составить математическую модель задачи, если необходимо получить информацию, сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю при том, что доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ф.ст., а от производства одной детали типа У – 40 ф.ст.?
Решение:
Пусть - количество деталей типа X выпускаемых заводом за неделю;
- количество деталей типа Y также выпускаемых заводом за неделю.
Тогда т.к. доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ф.ст. и доход от производства одной детали типа У – 40 ф.ст, то:
- общий доход за неделю, который необходимо максимизировать.
Таким образом, целевая функция будет иметь вид:
.
Далее, приведем ограничения для переменных и , согласно условию задачи:
1) Т.к. завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. в неделю и для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа У - 2 чел.-ч: ;
2) Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа У в неделю: .
3) Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней, а для производства одной детали типа У необходимо 5 кг металлических стержней. Уровень запаса металлических стержней составляет 10 000 кг в неделю. Тогда: .
4) Каждая деталь типа Х требует 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа У необходимо 2 кг листового металла, запас такого металла также 10000 кг в неделю: ;
5) Еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику: ;
6) Существует профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук: .
7) Кроме того, т.к. количество деталей не может быть отрицательным числом, то:
Задача 2
Для матриц А и В определить:
А) 3А+4В;
Б) АВ-ВА;
В) (А-В)-1
Задача 3.
Решить системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:
Задача 5.
Решить задачу графическим методом и провести анализ на чувствительность, ответив на вопросы 1-5.
Для приготовления двух видов продукции (А, В) используются три вида сырья. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в соответствующей таблице.
1. Определить план выпуска продукции из условия максимизации его стоимости.
2. Определить интервал изменения цены на продукцию А, при котором структура оптимального решения останется неизменной.
Вариант 6
Задача 1. Платёжная матрица игры:
А = .
Определить, существует ли седловая точка и найти оптимальное решение.
Решение
Определим, существует ли седловая точка:
, i=1,2,3

, j=1,2,3

, следовательно, седловая точка (2;3) и оптимальное решение .
Задача2. Платёжная матрица игры задана в виде:
.
Упростить игру (упростить платёжную матрицу) и найти оптимальное решение.
Решение
Упростим игру:
четвертая строка дублирует первую, поэтому вычеркиваем ее т.к. это дублирующая стратегия первого игрока

элементы третьего столбца не меньше всех элементов второго столбца, следовательно, для второго игрока эта стратегия заведомо невыгодна:
Задача3.
Найти решение матричной игры

Решение
Проверим есть ли седловая точка:
, i=1,2,3
Задача 4.
Оптимально спланировать выпуск продукции при разных состояниях природы – рынка спроса
Предприятие может выпускать 4 вида продукции: A1, A2, A3, A4, получая при этом прибыль. Её величина определяется состоянием спроса (природой рынка), который может находиться в одном из четырёх возможных состояний: B1, B2, B3, B4. Зависимость величины прибыли от вида продукции и состояния рынка представлено в таблице:
Виды продукции Возможные состояния рынка спроса
B1 B2 B3 B4
A1 4 3 5 6
A2 2 6 1,75 5
A3 3,5 3 7 2
A4 3 5 1,5 3
2. Пользуясь методом Жордана - Гаусса, решить систему линейных уравнений:

Решение
Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Жордана- Гаусса:
(меняем первый и второй столбец местами) (обнуляем первый столбец, для этого умножим первую строку на -3 и сложим со второй, умножим первую строку на -7 сложим с третьей и умножим первую строку на -2 и сложим с четвертой) (разделим третью строку на 3 и поменяем ее со второй строкой) (поменяем второй и четвертый столбец местами) (обнуляем второй столбец: умножим вторую строку на -2 и сложим с первой, умножим вторую строку на 7 и сложим с третьей, умножим вторую строку на -3 и сложим с четвертой) (умножим четвертую строку на -1 и поменяем местами третью и четвертую строки) (обнуляем третий столбец: умножим третью строку на -4 и сложим с первой, умножим третью строку на 2 и сложим со второй, умножим третью строку на 12 и сложим с четвертой) (делим четвертую строку на -129) (обнуляем четвертый столбец: умножим четвертую строку на 8 и сложим с третьей, умножим четвертую строку на 20 и сложим со второй, умножим четвертую строку на -43 и сложим с первой)

Учтем, что были поменяны местами сначала первый и второй столбец, а затем второй и четвертый:

Итак, решение системы .
12. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств

и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции в этой области.
Решение

Построим на плоскости прямые

и отметим полуплоскости, которые определяют неравенства:
получаем область допустимых значений в виде треугольника

Далее строим вектор градиент целевой функции : и проводим линии уровня целевой функции (на рис. изображена только одна линия уровня , остальные ей параллельны), которые перпендикулярны вектору-градиенту.
Задача №1
Фирма производит два вида продукции. Для производства одной тонны продукции первого вида требуется соответственно 150 человеко-часов работы, а второго вида – 300 человеко-часов. Кроме того, для производства одной тонны продукции первого вида требуется 20 т сырья, второго – 5 т. Ежеднев-ные ресурсы фирмы составляют 700 человеко-часов и 50 т сырья. По условиям заказчика продукция первого вида должна составлять не менее 1/3 общей мас-сы продукции. Доход от реализации 1 т первого и второго вида продукции со-ставляет 40 и 47 тыс. условных ед. соответственно.
Требуется:
1. Построить математическую модель оптимального выпуска ежедневной продукции как задачу линейного программирования.
2. Решить задачу графическим методом.
3. Указать план выпуска продукции первого и второго вида, при котором доход от ее реализации максимальный
4. Сделать экономический анализ задачи.
Решение
1. Пусть т необходимо производить продукции первого вида в день, т – продукции второго вида.
Тогда, т.к. для производства одной тонны продукции первого вида требу-ется соответственно 150 человеко-часов работы, а второго вида – 300 чело-веко-часов и ресурсы фирмы составляют 700 человеко-часов ежедневно, то по-лучаем первое неравенство ограничение: .
Далее, т.к. для производства одной тонны продукции первого вида требу-ется 20 т сырья, второго – 5 т и ежедневные ресурсы фирмы составляют 50 т сырья, то второе неравенство ограничение: .
Иными словами, при второй игрок будет выбирать свою вторую стратегию и первый игрок будет выигрывать , при второй игрок будет выбирать первую стратегию и первый игрок будет выигрывать . Наилучший для первого игрока выбор при этом соответствует . В нашем случае оптимальной смешанной стратегией первого игрока является стратегия:

(она определяется из условия ), при этом цена игры равна
.
Отметим, что второй игрок, действуя разумно, никогда не будет выбирать третью и четвертую стратегии, поэтому вектор оптимальной смешанной стратегии второго игрока имеет вид:
.
Тогда выигрыш второго игрока равен , если первый игрок выбирает свою первую стратегию, и , если первый игрок выбирает свою вторую стратегию. Значение определяется из условия
, оно равно .
Итак, оптимальная смешанная стратегия второго игрока равна:
.
Найдем оптимальные смешанные стратегии с помощью сведения матричной игры к паре взаимно двойственных задач линейного программирования.
От платежной матрицы П путем добавления положительного числа перейдем к матрице :

все элементы которой положительны.
Пара двойственных задач линейного программирования будет такой:

Оптимальные решения этих задач равны:
и
Оптимальные смешанные стратегии игроков
и
а цена игры

15. Биматричная игра. Каждое из двух конкурирующих предприятий имеет по две стратегии рыночного поведения. Прибыли предприятий (в млн. руб.) при условии, что первое предприятие изберет стратегию i(i = 1, 2), а второе предприятие — стратегию j (j = 1, 2), равны соответственно aij и bij. Платежные матрицы П(1) =(aij) и П(2) =(bij):

Требуется найти максиминные стратегии предприятий и равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
Решение
Смешанные стратегии предприятий можно представить в виде:

(здесь ). При этом, математические ожидания предприятий равны соответственно:

Максиминные стратегии предприятий определяются из условий:

Таким образом, максиминные стратегии первого и второго предприятий равны соответственно:

Множество всех возможных пар выигрышей предприятий четырехугольником АBСD (рис.15.1)

Рис.15.1
Очевидно, множество Парето, как и переговорное множество соответствует отрезку ВС.
Прямая, проходящая через точки В(2;1) и С(1;8) задается уравнением
,
поэтому функция Нэша

на отрезке достигает максимума в точке . При этом . Эта точка на рисунке 15.1 обозначена .
Точка является выпуклой комбинацией точек В(2;1) и С(1;8), то есть

откуда .
Точка G означает, что первое предприятие выбирает свою первую чистую стратегию, а второе с вероятностью -первую, и с вероятностью - вторую чистую стратегию.
Таким образом, максиминные стратегии первого и второго предприятий, равновесные по Нэшу равны соответственно

При этом средний выигрыш первого предприятия равен , а второго -
16. Оптимальный портфель ценных бумаг. Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно r1 и r2, риски и, , а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен .

Решение
Введем данные в рабочий лист Micrisoft Excel (рис.16.1). Пусть ячейки В9 и В10 соответствуют долям рисковых вложений , в ячейку В8, соответствующую доле безрисковых вложений , введем формулу соответствующую разности всех вложений (единицы) и вложений в акции , в ячейку В12 ведем формулу для ожидаемой эффективности портфеля МЕπ, а в ячейку В13 введем формулу для дисперсии эффективности портфеля DЕπ. Учтем, что .

Рис.16.1
Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Поиск решения», и в появившемся окне (рис.16.2) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14(в которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному значению, изменяя ячейки $В$10:$B$11 (в которых находятся доли рисковых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограничение $В$13:$B$7.
Узнайте стоимость работы онлайн!
Предлагаем узнать стоимость вашей работы прямо сейчас.
Это не займёт
много времени.
Узнать стоимость
girl

Наши гарантии:

Финансовая защищенность
Опытные специалисты
Тщательная проверка качества
Тайна сотрудничества