Вход
+7 831 235 38 53
Математические методы экономики - готовые работы
2. Формулировка задачи о назначениях.
Задача.
Рассмотрим такую задачу. Фирме необходимо заполнить m вакантных должностей, на которые имеются n претендентов. Каждый из них может занять любую, но одну из предлагаемых должностей. Пусть претенденты и должности пронумерованы соответственно последовательными числами от 0 до n-1 и от 0 до m-1. В силу многих обстоятельств (способности, образование, опыт, коммуникабельность и т.п.) полезность каждого кандидата для фирмы зависит от должности, на которую он будет назначен. Пусть возможный доход фирмы за конкретный промежуток времени при принятии претендента j (j=0,1,…,n-1) на должность i (i=0,1,…,m-1) известен и равен Ui,j. Матрицу U = || Ui,j || (i = 0,1,…,m-1; j = 0,1,…,n-1) назовем матрицей доходов. Если nm, то n-m претендентов работу не получат. Определить такое назначение работников на должности, при котором фирма будет иметь наибольший доход. Подобное назначение называют оптимальным, а саму задачу задачей о назначении.
Для данной задачи требуется определить наименьшее время, за которое будет разработано пять программ каждым из пяти программистами. Остальные условия соответствуют условиям задачи о назначениях.
Задача 4. Фирма получила заказы на разработку пяти программных продуктов. На фирме работают пять квалифицированных программистов, которым можно поручить выполнение этих заказов. Каждый программист дал оценку времени (в днях), которое ему требуется для разработки программ. Эти оценки приведены в таблице.
Программа 1 2 3 4 5
Программист
Волков 46 59 24 62 67
Лисицын 47 56 32 55 70
Медведев 44 52 19 61 60
Зайцев 47 59 17 64 73
Барсуков 43 65 20 60 75
Выполнение каждого из пяти заказов фирма решила поручить одному программисту. Требуется распределить работу между программистами так, чтобы суммарное время, затраченное ими на разработку всех программ, было минимальным.
Решение данной задачи рассмотрим в следующем пункте.
Задача.
Рассмотрим такую задачу. Фирме необходимо заполнить m вакантных должностей, на которые имеются n претендентов. Каждый из них может занять любую, но одну из предлагаемых должностей. Пусть претенденты и должности пронумерованы соответственно последовательными числами от 0 до n-1 и от 0 до m-1. В силу многих обстоятельств (способности, образование, опыт, коммуникабельность и т.п.) полезность каждого кандидата для фирмы зависит от должности, на которую он будет назначен. Пусть возможный доход фирмы за конкретный промежуток времени при принятии претендента j (j=0,1,…,n-1) на должность i (i=0,1,…,m-1) известен и равен Ui,j. Матрицу U = || Ui,j || (i = 0,1,…,m-1; j = 0,1,…,n-1) назовем матрицей доходов. Если nm, то n-m претендентов работу не получат. Определить такое назначение работников на должности, при котором фирма будет иметь наибольший доход. Подобное назначение называют оптимальным, а саму задачу задачей о назначении.
Для данной задачи требуется определить наименьшее время, за которое будет разработано пять программ каждым из пяти программистами. Остальные условия соответствуют условиям задачи о назначениях.
Задача 4. Фирма получила заказы на разработку пяти программных продуктов. На фирме работают пять квалифицированных программистов, которым можно поручить выполнение этих заказов. Каждый программист дал оценку времени (в днях), которое ему требуется для разработки программ. Эти оценки приведены в таблице.
Программа 1 2 3 4 5
Программист
Волков 46 59 24 62 67
Лисицын 47 56 32 55 70
Медведев 44 52 19 61 60
Зайцев 47 59 17 64 73
Барсуков 43 65 20 60 75
Выполнение каждого из пяти заказов фирма решила поручить одному программисту. Требуется распределить работу между программистами так, чтобы суммарное время, затраченное ими на разработку всех программ, было минимальным.
Решение данной задачи рассмотрим в следующем пункте.
Важным элементом российской государственной политики является формирование рынка доступного жилья. Это декларируется на самом высоком уровне. Ипотека – основной механизм достижения этой цели. Во всех экономически развитых странах люди не приобретают жилье (квартиру, дом), заплатив за него единовременно полную стоимость, а получают ипотечный кредит, что позволяет вселиться в квартиру сразу после оплаты первой части долга, потом же, в течение ряда лет, периодическими платежами заемщик возвращает кредит и проценты по нему.
При этом ипотечный кредит уже давно перестал быть делом только богатых людей. Заемщики со средним достатком могут всерьез претендовать на хороший кредит на покупку квартиры.
Для того чтобы ипотечный кредит был доступен для большинства населения, нужно чтобы ставки процентов по нему учитывали средний уровень дохода на семью и в тоже время, учитывали и интересы банка, целью которого является максимизация прибыли.
Еще одной важной проблемой, связанной с ипотечным кредитованием, являются риски. Для учета рисков необходимо так распределять имеющиеся свободные ресурсы банка, чтобы минимизировать риски и одновременно обеспечить оптимальное распределение свободных денежных средств.
Таким образом, вопросы совершенствования ипотечного кредитования имеют большую актуальность и являются важной составляющей расширения доступности жилья для населения.
Целью данной работы является на основе экономического анализа, оценки доступности жилья для населения выявить существующие проблемы и разработать программу повышения доступности жилья для населения, разработать возможные способы снижения риска при ипотечном кредитовании физических лиц в коммерческом банке путем формирования портфеля ипотечного кредита.
При этом ипотечный кредит уже давно перестал быть делом только богатых людей. Заемщики со средним достатком могут всерьез претендовать на хороший кредит на покупку квартиры.
Для того чтобы ипотечный кредит был доступен для большинства населения, нужно чтобы ставки процентов по нему учитывали средний уровень дохода на семью и в тоже время, учитывали и интересы банка, целью которого является максимизация прибыли.
Еще одной важной проблемой, связанной с ипотечным кредитованием, являются риски. Для учета рисков необходимо так распределять имеющиеся свободные ресурсы банка, чтобы минимизировать риски и одновременно обеспечить оптимальное распределение свободных денежных средств.
Таким образом, вопросы совершенствования ипотечного кредитования имеют большую актуальность и являются важной составляющей расширения доступности жилья для населения.
Целью данной работы является на основе экономического анализа, оценки доступности жилья для населения выявить существующие проблемы и разработать программу повышения доступности жилья для населения, разработать возможные способы снижения риска при ипотечном кредитовании физических лиц в коммерческом банке путем формирования портфеля ипотечного кредита.
Введение
Математическое моделирование – это изучение объектов с первой математической модели.
Математическая модель является отображением изучаемого процесса с помощью формул, алгоритмов, графиков, символов, функций, матриц и т.д. Эти формулы преобразуются с принятых правил математики и логики.
В современных экономических исследованиях среди различных форм моделирования преобладает математическое моделирование. С развитием компьютерной математики и технологий появляются новые математические методы и технологии, позволяющие строить математические модели более адекватно и эффективно.
Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.
Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования.
1. Задачи линейного программирования
Процесс построения математических моделей начинается с определения искомых неизвестных величин, с помощью которых можно охарактеризовать поведение изучаемого объекта. В качестве неизвестного могут выступать отдельные числовые переменные, векторы, матрицы, формулы.
1. Основные этапы математического моделирования в экономике
Процесс моделирования имеет несколько этапов [1].
1. Содержательная постановка задачи – формулируются вопросы, на которые надо получить ответы. Делаются всевозможные гипотезы, выявляются факторы, определяющие поведение объекта, устанавливаются взаимосвязи. Правильно поставленные задачи и цели облегчают построение моделей и являются существенным шагом на пути исследования изучаемого процесса.
2. Построение математической модели – формулирование задачи.
3. Математический анализ и численные расчёты модели требуют привлечение специалистов, математиков, программистов. Сначала делается попытка выявить аналитическим способом свойства изучаемого объекта. Если это удаётся, то такие свойства могут быть распространены на все другие модели, схожими с изучаемым объектом. Если аналитический анализ не даёт желательных результатов ввиду сложности модели, то производится их численный расчёт с помощью вычислительной техники. Численные результаты имеют частичный характер, т.е. применим только к исследуемому объекту. В результате анализа и расчёта делаются выводы для лиц, принимающих решения.
2. Постановка задачи линейного программирования
Характерные черты задач ЛП следующие [6]:
1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения ;
2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Общая форма записи модели задачи ЛП
Целевая функция (ЦФ).........
При описании реальной ситуации с помощью линейной модели следует проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и аддитивность. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть прямо пропорционален величине этой переменной. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой, влияет на объем реализации другого.
Допустимое решение – это совокупность чисел (план)..... , удовлетворяющих ограничениям задачи (1.1).
Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.
Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:
1) Что является искомыми величинами задачи?
2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?
3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.
Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.
1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде .
2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например, . Математическая формула ЦФ отражает способ расчета значений параметра – критерия эффективности задачи.
3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.
В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.
3.Графическое решение задачи линейного программирования
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи [6].
Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соотвествующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.
ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см. рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровняпроизвольно выбрав значение L.
Математическое моделирование – это изучение объектов с первой математической модели.
Математическая модель является отображением изучаемого процесса с помощью формул, алгоритмов, графиков, символов, функций, матриц и т.д. Эти формулы преобразуются с принятых правил математики и логики.
В современных экономических исследованиях среди различных форм моделирования преобладает математическое моделирование. С развитием компьютерной математики и технологий появляются новые математические методы и технологии, позволяющие строить математические модели более адекватно и эффективно.
Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.
Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования.
1. Задачи линейного программирования
Процесс построения математических моделей начинается с определения искомых неизвестных величин, с помощью которых можно охарактеризовать поведение изучаемого объекта. В качестве неизвестного могут выступать отдельные числовые переменные, векторы, матрицы, формулы.
1. Основные этапы математического моделирования в экономике
Процесс моделирования имеет несколько этапов [1].
1. Содержательная постановка задачи – формулируются вопросы, на которые надо получить ответы. Делаются всевозможные гипотезы, выявляются факторы, определяющие поведение объекта, устанавливаются взаимосвязи. Правильно поставленные задачи и цели облегчают построение моделей и являются существенным шагом на пути исследования изучаемого процесса.
2. Построение математической модели – формулирование задачи.
3. Математический анализ и численные расчёты модели требуют привлечение специалистов, математиков, программистов. Сначала делается попытка выявить аналитическим способом свойства изучаемого объекта. Если это удаётся, то такие свойства могут быть распространены на все другие модели, схожими с изучаемым объектом. Если аналитический анализ не даёт желательных результатов ввиду сложности модели, то производится их численный расчёт с помощью вычислительной техники. Численные результаты имеют частичный характер, т.е. применим только к исследуемому объекту. В результате анализа и расчёта делаются выводы для лиц, принимающих решения.
2. Постановка задачи линейного программирования
Характерные черты задач ЛП следующие [6]:
1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения ;
2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Общая форма записи модели задачи ЛП
Целевая функция (ЦФ).........
При описании реальной ситуации с помощью линейной модели следует проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и аддитивность. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть прямо пропорционален величине этой переменной. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой, влияет на объем реализации другого.
Допустимое решение – это совокупность чисел (план)..... , удовлетворяющих ограничениям задачи (1.1).
Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.
Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:
1) Что является искомыми величинами задачи?
2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?
3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.
Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.
1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде .
2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например, . Математическая формула ЦФ отражает способ расчета значений параметра – критерия эффективности задачи.
3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.
В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.
3.Графическое решение задачи линейного программирования
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи [6].
Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соотвествующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.
ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см. рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровняпроизвольно выбрав значение L.
ВВЕДЕНИЕ.
Гипотеза – одна из важных факторов движения науки к достижению прогресса. Возникает как результат наблюдения за явлениями (фактами), гипотеза принимает форму теоретического предположения. Обращение к фактам допускает возможность проверки этого предположения. При этом факты, которыми проверяется гипотеза, должны быть научно обоснованными, т.е. представляют собой результат наблюдения, что базируется на научных принципах.
Задача проверки статистических гипотез возникает в разных сферах человеческой деятельности, а особенно в экономике. При сравнении и оценке разных явлений в последствии возникшего элемента вероятности – это решается с помощью математической статистики. Как правило, в распоряжении исследователей есть выборочные данные. За статистическим анализом выборки делают полный вывод о объекте исследования путем вычисления статистический оценок (точечных, интервальных). Но если при оценивании находят найлучшую статистическую оценку параметра или характера распределения выходной совокупности, то задание проверки статистических гипотез лежит в том что принимает ли оценку в роли значения исследуемая функция распределения или параметр.
В данной работе рассмотрим основные понятия статистической гипотезы и ее статистическую проверку
ГЛАВА 1.
ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ.
Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или, напротив, отвергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности (случайной величины)
Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотезы.
Задачами статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза . Из этой генеральной совокупности извлекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу или принять ее.
Следует отметить, что статистическими методами гипотезу можно только отвергнуть или не отвергнуть, но не доказать.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки.
ГЛАВА 2.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА. СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ.
2.1. Основные понятия статистической гипотезы и статистического критерия.
Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемой по выборке.
Статистические гипотезы делятся на:
1. гипотезы о параметрах распределения известного вида (это так называемые параметрические гипотезы)
2. гипотезы о виде неизвестного распределения (непараметрические гипотезы)
одну из гипотез выделяют в качестве основной (или нулевой) и обозначают , а другую, являющуюся логическим отрицанием , т.е. противоположную - в качестве конкурирующей (или альтернативной) гипотезы и обозначают .
Гипотезу, однозначно фиксирующую распределения наблюдений, называют простой ( в ней идет речь об одном значении параметра), в противном случае – сложной.
Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу (соответственно, отклонить или принять ), называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы .
Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выборки , из которых формируют функцию выборки , называемой статистикой критерия.
Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Множество возможных значений статистики критерия разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область , т.е. область отклонения гипотезы и область принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т.е. значение критерия, вычисленное по выборке: ) попадает в критическую область , то основная гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза ; если же попадает в , то принимается , а отклоняется.
При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов:
1. Ошибка I-го рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза , когда на самом деле она верна.
2. Ошибка ІІ-го рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза , когда она на самом деле верна.
Рассматриваемые случаи наглядно иллюстрирует следующая таблица.
Гипотеза
Отвергается Принимается
верна ошибка 1-го рода правильное решение
неверна правильное решение ошибка 2-го рода
Вероятность ошибки 1-го рода (обозначается через ) называется уровнем значимости критерия.
Очевидно, . Чем меньше , тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку 1-го рода обычно задают заранее.
В одних случаях считается возможным пренебречь событиями, вероятность которых меньше ( означает, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная гипотеза будет отвергнута), в других случаях, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибели судна и т.п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые могут появится с вероятностью, равной 0.001.
Обычно для используются стандартные значения:
Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через , т.е. .
Величину , т.е. вероятность недопущения ошибки 2-го рода (отвергнуть неверную гипотезу , принятую верную ), называется мощностью критерия.
Очевидно, .
Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно (как и уменьшение )
Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать , в другом - . Так, применительно к радиолокации говорят, что - вероятность пропуска сигнала, - вероятность ложной тревоги; применительно к производству, к торговле можно сказать, что - риск поставщика (т.е. забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), - риск потребителя (т.е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей стандарту); применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода – осуждению невиновного.
Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости отыскивается критерий с наибольшей мощностью.
2.2. Методика проверки гипотезы.
Методика проверки гипотез сводится к следующему:
1. Располагая выборкой , формируют нулевую гипотезу и альтернативную
2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия , обычно из перечисленных ниже:
нормальное распределение
распределение хи-квадрата (Пирсона)
распределение Стьюдента
распределение Фишера - Снедекора
3. По статистике критерия и уровню значимости определяют критическую область (и ). Для ее отыскания достаточно найти критическую точку , т.е. границу (или квантиль), отделяющую область от .
Границы областей определяются, соответственно, из соотношений:
, для правосторонней критической области ;
, для левосторонней критической области ; , для двусторонней критической области .
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведенным выше соотношениям.
4. Для полученной реализации выборки подсчитывают значение критерия, т.е.
5. Если ( например, для правосторонней области ), то нулевую гипотезу отвергают; если же ( ), то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу .
ГЛАВА 3.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
3.1. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей.
Пусть две нормально распределены генеральные совокупности имеют равные дисперсии, а математическое ожидание могут быть разными.
Из совокупности сделали выборку объема та и нашли выборочные средние и , также исправленные дисперсии та , соответственно.
Необходимо проверить гипотезу : разница математических ожиданий этих совокупностей равняется числу
Альтернативной гипотезой будет:
Для проверки гипотезы в качестве статистической характеристики (выборочной функции) возьмем функцию:
она распределена за законом Стьюдента с степенями свободы
для заданного уровня значимости можно найти критическую область для статистической характеристики с учетом альтернативной гипотезы
Гипотеза – одна из важных факторов движения науки к достижению прогресса. Возникает как результат наблюдения за явлениями (фактами), гипотеза принимает форму теоретического предположения. Обращение к фактам допускает возможность проверки этого предположения. При этом факты, которыми проверяется гипотеза, должны быть научно обоснованными, т.е. представляют собой результат наблюдения, что базируется на научных принципах.
Задача проверки статистических гипотез возникает в разных сферах человеческой деятельности, а особенно в экономике. При сравнении и оценке разных явлений в последствии возникшего элемента вероятности – это решается с помощью математической статистики. Как правило, в распоряжении исследователей есть выборочные данные. За статистическим анализом выборки делают полный вывод о объекте исследования путем вычисления статистический оценок (точечных, интервальных). Но если при оценивании находят найлучшую статистическую оценку параметра или характера распределения выходной совокупности, то задание проверки статистических гипотез лежит в том что принимает ли оценку в роли значения исследуемая функция распределения или параметр.
В данной работе рассмотрим основные понятия статистической гипотезы и ее статистическую проверку
ГЛАВА 1.
ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ.
Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или, напротив, отвергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности (случайной величины)
Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотезы.
Задачами статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза . Из этой генеральной совокупности извлекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу или принять ее.
Следует отметить, что статистическими методами гипотезу можно только отвергнуть или не отвергнуть, но не доказать.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки.
ГЛАВА 2.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА. СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ.
2.1. Основные понятия статистической гипотезы и статистического критерия.
Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемой по выборке.
Статистические гипотезы делятся на:
1. гипотезы о параметрах распределения известного вида (это так называемые параметрические гипотезы)
2. гипотезы о виде неизвестного распределения (непараметрические гипотезы)
одну из гипотез выделяют в качестве основной (или нулевой) и обозначают , а другую, являющуюся логическим отрицанием , т.е. противоположную - в качестве конкурирующей (или альтернативной) гипотезы и обозначают .
Гипотезу, однозначно фиксирующую распределения наблюдений, называют простой ( в ней идет речь об одном значении параметра), в противном случае – сложной.
Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу (соответственно, отклонить или принять ), называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы .
Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выборки , из которых формируют функцию выборки , называемой статистикой критерия.
Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Множество возможных значений статистики критерия разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область , т.е. область отклонения гипотезы и область принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т.е. значение критерия, вычисленное по выборке: ) попадает в критическую область , то основная гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза ; если же попадает в , то принимается , а отклоняется.
При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов:
1. Ошибка I-го рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза , когда на самом деле она верна.
2. Ошибка ІІ-го рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза , когда она на самом деле верна.
Рассматриваемые случаи наглядно иллюстрирует следующая таблица.
Гипотеза
Отвергается Принимается
верна ошибка 1-го рода правильное решение
неверна правильное решение ошибка 2-го рода
Вероятность ошибки 1-го рода (обозначается через ) называется уровнем значимости критерия.
Очевидно, . Чем меньше , тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку 1-го рода обычно задают заранее.
В одних случаях считается возможным пренебречь событиями, вероятность которых меньше ( означает, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная гипотеза будет отвергнута), в других случаях, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибели судна и т.п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые могут появится с вероятностью, равной 0.001.
Обычно для используются стандартные значения:
Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через , т.е. .
Величину , т.е. вероятность недопущения ошибки 2-го рода (отвергнуть неверную гипотезу , принятую верную ), называется мощностью критерия.
Очевидно, .
Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно (как и уменьшение )
Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать , в другом - . Так, применительно к радиолокации говорят, что - вероятность пропуска сигнала, - вероятность ложной тревоги; применительно к производству, к торговле можно сказать, что - риск поставщика (т.е. забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), - риск потребителя (т.е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей стандарту); применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода – осуждению невиновного.
Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости отыскивается критерий с наибольшей мощностью.
2.2. Методика проверки гипотезы.
Методика проверки гипотез сводится к следующему:
1. Располагая выборкой , формируют нулевую гипотезу и альтернативную
2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия , обычно из перечисленных ниже:
нормальное распределение
распределение хи-квадрата (Пирсона)
распределение Стьюдента
распределение Фишера - Снедекора
3. По статистике критерия и уровню значимости определяют критическую область (и ). Для ее отыскания достаточно найти критическую точку , т.е. границу (или квантиль), отделяющую область от .
Границы областей определяются, соответственно, из соотношений:
, для правосторонней критической области ;
, для левосторонней критической области ; , для двусторонней критической области .
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведенным выше соотношениям.
4. Для полученной реализации выборки подсчитывают значение критерия, т.е.
5. Если ( например, для правосторонней области ), то нулевую гипотезу отвергают; если же ( ), то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу .
ГЛАВА 3.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
3.1. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей.
Пусть две нормально распределены генеральные совокупности имеют равные дисперсии, а математическое ожидание могут быть разными.
Из совокупности сделали выборку объема та и нашли выборочные средние и , также исправленные дисперсии та , соответственно.
Необходимо проверить гипотезу : разница математических ожиданий этих совокупностей равняется числу
Альтернативной гипотезой будет:
Для проверки гипотезы в качестве статистической характеристики (выборочной функции) возьмем функцию:
она распределена за законом Стьюдента с степенями свободы
для заданного уровня значимости можно найти критическую область для статистической характеристики с учетом альтернативной гипотезы
Основы теории вероятности
Суммой событий Аi называется событие С состоящее в появлении события А или события В или их обоих вместе.
Суммой события А и В называется событие С заключенное в выполнении хотя бы одного из названых событий.
Произведением нескольких событий называется событие заключающееся в совместном выполнении всех этих событий.
Теорема умножения вероятностей.
Событие А называется зависимым от события В если его вероятность меняется в зависимости от того произошло событие В или нет.
Для независимых событий условная и безусловная вероятность совпадают.
Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на вероятность другого вычисленную при условии, что первое событие имело место.
Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(В/А)
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
Суммой событий Аi называется событие С состоящее в появлении события А или события В или их обоих вместе.
Суммой события А и В называется событие С заключенное в выполнении хотя бы одного из названых событий.
Произведением нескольких событий называется событие заключающееся в совместном выполнении всех этих событий.
Теорема умножения вероятностей.
Событие А называется зависимым от события В если его вероятность меняется в зависимости от того произошло событие В или нет.
Для независимых событий условная и безусловная вероятность совпадают.
Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на вероятность другого вычисленную при условии, что первое событие имело место.
Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(В/А)
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах а1, а2,..., аm единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно b1, b2,..., bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна сij и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.
Обозначим через хij количество груза, планируемого к перевозке от i-го поставщика j-му потребителю. При наличии баланса производства и потребления
(1)
математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:
найти план перевозок
Х = (хij), i = 1, m; j = 1, n
минимизирующий общую стоимость всех перевозок
(2)
при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт
(3)
и любому потребителю доставляется необходимое количество груза
(4)
причем по смыслу задачи
х11 > 0 ,. . . ., xmn > 0. (5)
Исходные данные задачи имеют вид:
А(а1, а2, а3) = (70; 40; 60); В(b1, b2, b3, b4) = (37; 39; 48; 40);
С = .
Общий объем производства аi = 70+40+60 = 170 больше, чем требуется всем потребителям bi = 37+39+48+40 = 164, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 170-164 = 6 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.
Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла.
Таблица 1.
ПН
ПО b1 b2 b3 b4 b5 Запасы аi
а1 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2 5
– 3
6 7
34 6
– 0
– 40
а3 3
– 2
– 4
14 2
40 0
6 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
В этом опорном плане 7 занятых клеток. План невырожденный, т.к. число клеток равно m + n – 1 = 3 + 5 – 1 = 7. Общая стоимость перевозок тогда равна:
F(X1) = 3*37+1*33+3*6+7*34+4*14+2*40+0*6 = 536.
Найдем потенциалы поставщиков и заказчиков. Пользуясь теоремой о потенциалах, можем записать 7 уравнений для определения pi и qj:
p1 + q1 = c11 = 2, p1 + q2 = c12 = 1, p2 + q2 = c22 = 3, p2 + q3 = c23 = 7,
p3 + q3 = c33 = 4, p3 + q4 = c34 = 2, p3 + q5 = c35 = 0.
Приравнивая p1 = 0, находим значения остальных потенциалов. Значения записываем в клетки таблицы.
Таблица 2.
ПН
ПО b1
q1 = 2 b2
q2 = 1 b3
q3 = 5 b4
q4 = 3 b5
q5 = 5 Запасы аi
а1
p1 = 0 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2
p2 = 2 5
– 3
6 7
34 6
– 0
– 40
а3
p3 = – 1 3
– 2
– 4
14 2
40 0
6 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
Проверим оптимальность опорного плана. Подсчитаем оценки для свободных клеток:
13 = – 1, 14 = – 2, 15 = 1 0, 21 = – 1, 24 = – 1, 25 = 3 0,
31 = – 2, 32 = – 2.
Среди оценок есть положительные, следовательно, план нуждается в изменении. Модификацию плана проводим с помощью пересчета по циклу. Начинаем цикл с клетки с самой большой оценкой 25 = 3. Получим цикл: 25-35-33-23-25.
Таблица 3.
ПН
ПО b1
q1 = 2 b2
q2 = 1 b3
q3 = 5 b4
q4 = 3 b5
q5 = 5 Запасы аi
а1
p1 = 0 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2
p2 = 2 5
– 3
6 7
34
6
– 0
– 40
а3
p3 = – 1 3
– 2
– 4
14 2
40 0
6 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета:
= 6. Получаем второе базисное допустимое решение:
Таблица 4.
ПН
ПО b1
q1 = 2 b2
q2 = 1 b3
q3 = 5 b4
q4 = 3 b5
q5 = 5 Запасы аi
а1
p1 = 0 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2
p2 = 2 5
– 3
6 7
28 6
– 0
6 40
а3
p3 = – 1 3
– 2
– 4
20 2
40 0
– 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
Стоимость перевозок по полученному плану равна:
F(X2) =2*37+1*33+3*6+7*28+0*6+4*20+2*40 = 481.
Найдем потенциалы поставщиков и потребителей, занося данные в новую таблицу.
Таблица 5.
ПН
ПО b1
q1 = 2 b2
q2 = 1 b3
q3 = 5 b4
q4 = 3 b5
q5 = – 2 Запасы аi
а1
p1 = 0 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2
p2 = 2 5
– 3
6 7
28 6
– 0
6 40
а3
p3 = – 1 3
– 2
– 4
20 2
40 0
– 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
Проверим оптимальность опорного плана. Подсчитаем оценки для свободных клеток:
13 = – 1, 14 = – 2, 15 = – 2, 21 = – 1, 24 = – 1, 31 = – 2, 32 = – 2, 35 = – 3.
Среди оценок нет положительных, следовательно, получили оптимальное решение:
, причем на второй базе останется запас продукта в 6 единиц.
4. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб.
Таблица 1.
хj 0 100 200 300 400 500 600 700
f1 (xj) 0 15 26 38 45 52 58 63
f2 (xj) 0 10 17 23 29 34 38 41
f3 (xj) 0 11 19 26 30 33 35 36
f4 (xj) 0 25 34 41 46 50 53 56
Требуется найти такое распределение (x1, x2, x3, x4) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли
z = f1(x1) + f2(х2) + f3(x3) + f4(x4)
при ограничении по общей сумме капитальных вложений
x1 + x2 + x3 + x4 = 700,
причем будем считать, что все переменные xj принимают только целые неотрицательные значения, кратные 100
xj = 0, или 100, или 200, или 300, ...
Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния Fk() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают рублей. Параметр может изменяться от 0 до 700. Если из рублей k-е предприятие получит xk рублей, то каково бы ни было это значение, остальные – xk рублей естественно распределить между предприятиями от первого до (k – 1)-го так, чтобы была получена максимальная прибыль Fk-1( – xk). Тогда прибыль k предприятий будет равна fk(xk) + Fk-1( – xk). Надо выбрать такое значение xk между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению
Fk()=max{fk(xk) + Fk-1( – xk)}
0 xk
для k = 2, 3, 4. Если же k = 1, то
F1() = f1().
Прежде всего заполняем табл. 2. Значения f2(x2) складываем со значениями F1( – x2) = f1( – x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение . Заполняем таблицу 3.
Обозначим через хij количество груза, планируемого к перевозке от i-го поставщика j-му потребителю. При наличии баланса производства и потребления
(1)
математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:
найти план перевозок
Х = (хij), i = 1, m; j = 1, n
минимизирующий общую стоимость всех перевозок
(2)
при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт
(3)
и любому потребителю доставляется необходимое количество груза
(4)
причем по смыслу задачи
х11 > 0 ,. . . ., xmn > 0. (5)
Исходные данные задачи имеют вид:
А(а1, а2, а3) = (70; 40; 60); В(b1, b2, b3, b4) = (37; 39; 48; 40);
С = .
Общий объем производства аi = 70+40+60 = 170 больше, чем требуется всем потребителям bi = 37+39+48+40 = 164, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 170-164 = 6 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.
Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла.
Таблица 1.
ПН
ПО b1 b2 b3 b4 b5 Запасы аi
а1 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2 5
– 3
6 7
34 6
– 0
– 40
а3 3
– 2
– 4
14 2
40 0
6 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
В этом опорном плане 7 занятых клеток. План невырожденный, т.к. число клеток равно m + n – 1 = 3 + 5 – 1 = 7. Общая стоимость перевозок тогда равна:
F(X1) = 3*37+1*33+3*6+7*34+4*14+2*40+0*6 = 536.
Найдем потенциалы поставщиков и заказчиков. Пользуясь теоремой о потенциалах, можем записать 7 уравнений для определения pi и qj:
p1 + q1 = c11 = 2, p1 + q2 = c12 = 1, p2 + q2 = c22 = 3, p2 + q3 = c23 = 7,
p3 + q3 = c33 = 4, p3 + q4 = c34 = 2, p3 + q5 = c35 = 0.
Приравнивая p1 = 0, находим значения остальных потенциалов. Значения записываем в клетки таблицы.
Таблица 2.
ПН
ПО b1
q1 = 2 b2
q2 = 1 b3
q3 = 5 b4
q4 = 3 b5
q5 = 5 Запасы аi
а1
p1 = 0 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2
p2 = 2 5
– 3
6 7
34 6
– 0
– 40
а3
p3 = – 1 3
– 2
– 4
14 2
40 0
6 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
Проверим оптимальность опорного плана. Подсчитаем оценки для свободных клеток:
13 = – 1, 14 = – 2, 15 = 1 0, 21 = – 1, 24 = – 1, 25 = 3 0,
31 = – 2, 32 = – 2.
Среди оценок есть положительные, следовательно, план нуждается в изменении. Модификацию плана проводим с помощью пересчета по циклу. Начинаем цикл с клетки с самой большой оценкой 25 = 3. Получим цикл: 25-35-33-23-25.
Таблица 3.
ПН
ПО b1
q1 = 2 b2
q2 = 1 b3
q3 = 5 b4
q4 = 3 b5
q5 = 5 Запасы аi
а1
p1 = 0 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2
p2 = 2 5
– 3
6 7
34
6
– 0
– 40
а3
p3 = – 1 3
– 2
– 4
14 2
40 0
6 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета:
= 6. Получаем второе базисное допустимое решение:
Таблица 4.
ПН
ПО b1
q1 = 2 b2
q2 = 1 b3
q3 = 5 b4
q4 = 3 b5
q5 = 5 Запасы аi
а1
p1 = 0 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2
p2 = 2 5
– 3
6 7
28 6
– 0
6 40
а3
p3 = – 1 3
– 2
– 4
20 2
40 0
– 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
Стоимость перевозок по полученному плану равна:
F(X2) =2*37+1*33+3*6+7*28+0*6+4*20+2*40 = 481.
Найдем потенциалы поставщиков и потребителей, занося данные в новую таблицу.
Таблица 5.
ПН
ПО b1
q1 = 2 b2
q2 = 1 b3
q3 = 5 b4
q4 = 3 b5
q5 = – 2 Запасы аi
а1
p1 = 0 2
37 1
33 6
– 5
– 0
– 70
а2
p2 = 2 5
– 3
6 7
28 6
– 0
6 40
а3
p3 = – 1 3
– 2
– 4
20 2
40 0
– 60
Потребности bj 37 39 48 40 6
Проверим оптимальность опорного плана. Подсчитаем оценки для свободных клеток:
13 = – 1, 14 = – 2, 15 = – 2, 21 = – 1, 24 = – 1, 31 = – 2, 32 = – 2, 35 = – 3.
Среди оценок нет положительных, следовательно, получили оптимальное решение:
, причем на второй базе останется запас продукта в 6 единиц.
4. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб.
Таблица 1.
хj 0 100 200 300 400 500 600 700
f1 (xj) 0 15 26 38 45 52 58 63
f2 (xj) 0 10 17 23 29 34 38 41
f3 (xj) 0 11 19 26 30 33 35 36
f4 (xj) 0 25 34 41 46 50 53 56
Требуется найти такое распределение (x1, x2, x3, x4) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли
z = f1(x1) + f2(х2) + f3(x3) + f4(x4)
при ограничении по общей сумме капитальных вложений
x1 + x2 + x3 + x4 = 700,
причем будем считать, что все переменные xj принимают только целые неотрицательные значения, кратные 100
xj = 0, или 100, или 200, или 300, ...
Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния Fk() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают рублей. Параметр может изменяться от 0 до 700. Если из рублей k-е предприятие получит xk рублей, то каково бы ни было это значение, остальные – xk рублей естественно распределить между предприятиями от первого до (k – 1)-го так, чтобы была получена максимальная прибыль Fk-1( – xk). Тогда прибыль k предприятий будет равна fk(xk) + Fk-1( – xk). Надо выбрать такое значение xk между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению
Fk()=max{fk(xk) + Fk-1( – xk)}
0 xk
для k = 2, 3, 4. Если же k = 1, то
F1() = f1().
Прежде всего заполняем табл. 2. Значения f2(x2) складываем со значениями F1( – x2) = f1( – x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение . Заполняем таблицу 3.
4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕ-ЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ
0 100 200 300 400 500 600 700
f1(x1) 0 16 26 39 42 46 50 54
f2(x2) 0 9 15 23 31 39 45 49
f3(x3) 0 18 26 34 39 42 44 46
f4(x4) 0 15 25 32 38 42 46 48
Заполняем следующую таблицу. Значения f2(x2) складываем со значе-ниями F1(m-x2) = f2(m-x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем и указываем соответствующее значение z2.
m-x2 0 100 200 300 400 500 600 700
x2 f2(x2)/ F1(m-x2) 0 16 26 39 42 46 50 54
0 0 0 16 26 39 42 46 50 54
100 9 9 25 35 48 51 55 59
200 15 15 31 41 54 57 61
300 23 23 39 49 62 65
400 31 31 47 57 70
500 39 39 55 65
600 45 45 61
700 49 49
Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выде-ления соответствующего размера инвестиций 2-м предприятиям.
m 0 100 200 300 400 500 600 700
F2(m) 0 16 26 39 48 54 62 70
z2(m) 0 0 0 0 100 200 300 400
Продолжая процесс, табулируем функции F3(m) и z3(m)
m-x3 0 100 200 300 400 500 600 700
x3 f3(x3)/ F2(m-x3) 0 16 26 39 48 54 62 70
0 0 0 16 26 39 48 54 62 70
100 18 18 34 44 57 66 72 80
200 26 26 42 52 65 74 80
300 34 34 50 60 73 82
400 39 39 55 65 78
500 42 42 58 68
600 44 44 60
700 46 46
m 0 100 200 300 400 500 600 700
F3(m) 0 18 34 44 57 66 74 82
z3(m) 0 100 100 100 100 100 200 300
Продолжая процесс, табулируем функции F4(m) и z4(m)
m-x3 0 100 200 300 400 500 600 700
x3 f3(x3)/ F2(m-x3) 0 18 34 44 57 66 74 82
0 0 0 18 34 44 57 66 74 82
100 15 15 33 49 59 72 81 89
200 25 25 43 59 69 82 91
300 32 32 50 66 76 89
400 38 38 56 72 82
500 42 42 60 76
600 46 46 64
700 48 48
m 0 100 200 300 400 500 600 700
F4(m) 0 18 34 49 59 72 82 91
z4(m) 0 0 0 100 100 100 200 200
m 0 100 200 300 400 500 600 700
F1(m)=f1(x1) 0 16 26 39 48 54 62 70
z1=x1 0 100 200 300 400 500 600 700
F2(m) 0 16 26 39 48 54 62 70
z2(m) 0 0 0 0 100 200 300 400
F3(m) 0 18 34 44 57 66 74 82
z3(m) 0 100 100 100 100 100 200 300
F4(m) 0 18 34 49 59 72 82 91
z4(m) 0 0 0 100 100 100 200 200
Наилучшим является следующее распределение капитальных вложе-ний: . Оно обеспечивает производственному объединению наибольший прирост прибыли 91 тыс. руб.
Проверка:
5. АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q,4. Найдем средние ожидае-мые доходы Qi и риски ri операций.
Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:
Q1 : 2 12 18 22 Q1 = 10,25 r1 8,74
1/2 1/8 1/8 1/4
Q2 : 0 2 4 16 Q2 = 3 r2 4,3
1/2 1/4 1/8 1/8
Q3 : 0 4 6 12 Q3 = 5 r3 3,87
1/4 1/4 1/3 1/6
Q4 : 0 1 2 8 Q4 = 2 r4 2,77
1/3 1/3 1/6 1/6
Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. рис.):
Получили 4 точки. Чем правее точка (Q, r), тем более доходная опера-ция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q, r) доминирует точку (Q, r) если Q Q и r r. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ю, остальные операции несрав-нимы.
Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимально-сти по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо вы-бирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.
Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, r) дает одно число, по кото-рому и определяют лучшую операцию. Взвешивающая формула есть . Тогда получаем:
Следовательно, 1-я операция — лучшая, а 4-я — худшая.
0 100 200 300 400 500 600 700
f1(x1) 0 16 26 39 42 46 50 54
f2(x2) 0 9 15 23 31 39 45 49
f3(x3) 0 18 26 34 39 42 44 46
f4(x4) 0 15 25 32 38 42 46 48
Заполняем следующую таблицу. Значения f2(x2) складываем со значе-ниями F1(m-x2) = f2(m-x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем и указываем соответствующее значение z2.
m-x2 0 100 200 300 400 500 600 700
x2 f2(x2)/ F1(m-x2) 0 16 26 39 42 46 50 54
0 0 0 16 26 39 42 46 50 54
100 9 9 25 35 48 51 55 59
200 15 15 31 41 54 57 61
300 23 23 39 49 62 65
400 31 31 47 57 70
500 39 39 55 65
600 45 45 61
700 49 49
Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выде-ления соответствующего размера инвестиций 2-м предприятиям.
m 0 100 200 300 400 500 600 700
F2(m) 0 16 26 39 48 54 62 70
z2(m) 0 0 0 0 100 200 300 400
Продолжая процесс, табулируем функции F3(m) и z3(m)
m-x3 0 100 200 300 400 500 600 700
x3 f3(x3)/ F2(m-x3) 0 16 26 39 48 54 62 70
0 0 0 16 26 39 48 54 62 70
100 18 18 34 44 57 66 72 80
200 26 26 42 52 65 74 80
300 34 34 50 60 73 82
400 39 39 55 65 78
500 42 42 58 68
600 44 44 60
700 46 46
m 0 100 200 300 400 500 600 700
F3(m) 0 18 34 44 57 66 74 82
z3(m) 0 100 100 100 100 100 200 300
Продолжая процесс, табулируем функции F4(m) и z4(m)
m-x3 0 100 200 300 400 500 600 700
x3 f3(x3)/ F2(m-x3) 0 18 34 44 57 66 74 82
0 0 0 18 34 44 57 66 74 82
100 15 15 33 49 59 72 81 89
200 25 25 43 59 69 82 91
300 32 32 50 66 76 89
400 38 38 56 72 82
500 42 42 60 76
600 46 46 64
700 48 48
m 0 100 200 300 400 500 600 700
F4(m) 0 18 34 49 59 72 82 91
z4(m) 0 0 0 100 100 100 200 200
m 0 100 200 300 400 500 600 700
F1(m)=f1(x1) 0 16 26 39 48 54 62 70
z1=x1 0 100 200 300 400 500 600 700
F2(m) 0 16 26 39 48 54 62 70
z2(m) 0 0 0 0 100 200 300 400
F3(m) 0 18 34 44 57 66 74 82
z3(m) 0 100 100 100 100 100 200 300
F4(m) 0 18 34 49 59 72 82 91
z4(m) 0 0 0 100 100 100 200 200
Наилучшим является следующее распределение капитальных вложе-ний: . Оно обеспечивает производственному объединению наибольший прирост прибыли 91 тыс. руб.
Проверка:
5. АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q,4. Найдем средние ожидае-мые доходы Qi и риски ri операций.
Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:
Q1 : 2 12 18 22 Q1 = 10,25 r1 8,74
1/2 1/8 1/8 1/4
Q2 : 0 2 4 16 Q2 = 3 r2 4,3
1/2 1/4 1/8 1/8
Q3 : 0 4 6 12 Q3 = 5 r3 3,87
1/4 1/4 1/3 1/6
Q4 : 0 1 2 8 Q4 = 2 r4 2,77
1/3 1/3 1/6 1/6
Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. рис.):
Получили 4 точки. Чем правее точка (Q, r), тем более доходная опера-ция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q, r) доминирует точку (Q, r) если Q Q и r r. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ю, остальные операции несрав-нимы.
Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимально-сти по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо вы-бирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.
Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, r) дает одно число, по кото-рому и определяют лучшую операцию. Взвешивающая формула есть . Тогда получаем:
Следовательно, 1-я операция — лучшая, а 4-я — худшая.
1.3.1. Основные понятия теории игр
Конфликтные ситуации изучает математическая дисциплина, называемая теорией игр. Первые исследования в этой области математики проводили, изучая обычные игры (шахматы, бридж, покер и пр.), что сказалось на терминологии, используемой в теории игр.
Модель конфликтной ситуации называется игрой, а ее участники — игроками.
От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным прави-лам.
Правила игры — это допустимые действия каждого из игроков в той или иной си-туации.
Необходимо различать абстрактное понятие игры, которое фактически представля-ет собой совокупность описывающих ее правил и ее конкретные реализации — партии. Партия состоит из последовательности "ходов" каждого из игроков.
Ход — это выбор игроком одного из действий, предусмотренных правилами игры.
Ходы могут быть двух типов: личные и случайные. Выбирая личный ход, игрок действует сознательно и сделанный ход зависит только от принятого им решения. Напри-мер, любой ход в шахматах является личным. При случайном ходе выбор осуществляется игроком не после анализа возникшей ситуации, а в результате действия какого-либо меха-низма случайного выбора (бросание монеты или игральной кости).
Некоторые, так называемые "азартные" игры состоят только из случайных ходов (рулетка, игра в кости). Такие игры не изучаются теорией игр. В ней исследуются страте-гические игры, в которых есть личные ходы, (возможно, наряду со случайными). Приме-рами стратегических игр среди обычных игр могут служить шахматы, преферанс, бридж.
Правила игры должны указывать, каким будет исход любой партии для каждого иг-рока, т.е. после окончания партии должен быть определены выигрыши всех игроков. Обычно для каждого игрока считается известной его функция выигрыша или платежная функция, значение которой принимается за выигрыш игрока после завершения партии.
Количественная оценка результатов игры называется выигрышем или платежом.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих его выбор в каждой из возможных ситуаций, в которой он должен сделать свой личный ход. Иными словами, игрок уже перед началом партии знает, какой ход он будет делать в любой си-туации (выбрал стратегию своего поведения).
Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая обеспечивает ему в игре наилучший результат, т.е. максимальный выигрыш. Если играется серия пар-тий, то оптимальная стратегия должна обеспечивать максимальный средний выигрыш.
Основная задача теории игр — определить оптимальные стратегии игроков в раз-личных классах игр. При этом предполагается, что все игроки, стремясь достичь своих це-лей, действуют рационально. Эта гипотеза о рациональном поведении игроков является ключевой в теории игр.
1.3.2. Классификация игр
1. Возможность образования коалиций.
Если правила игры разрешают объединение группы участников (образование коа-лиции) для получения ими лучших результатов по сравнению с теми, которых они доби-лись бы, действуя самостоятельно, то такая игра называется кооперативной. В противном случае игра называется бескоалиционной или некооперативной.
2. По количеству стратегий.
В зависимости от числа стратегий игры делятся на "конечные" и "бесконечные". Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении конечное чис-ло стратегий, и бесконечной — в противном случае.
3. По числу игроков.
В зависимости от числа участников игры они делятся на игры с двумя, тремя и бо-лее игроками.
4. По свойствам функций выигрыша.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если в любой партии сумма выигрышей всех игроков равна нулю, т.е. каждый игрок может выиграть лишь за счет проигрыша дру-гих игроков. Если это условие не выполнено, то такая игра называется игрой с ненулевой суммой.
1.3.3. Матричные игры, разрешимые в чистых стратегиях
Самым простым является случай, когда число игроков равно двум. Такая игра на-зывается игрой двух лиц или парной. В парной игре с нулевой суммой выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу второго. Такая игра называется антагонистической. В ней интересы участников полностью противоположны. В этой главе мы будем рассматривать именно такие игры.
Любую конечную антагонистическую игру можно привести к наиболее удобной для анализа матричной форме.
Приведение игры к матричной форме
Рассмотрим конечную антагонистическую игру. Будем считать, что число страте-гий игрока 1 равно , а число стратегий игрока 2 равно . Обозначим — множество стратегий игрока 1, а — множество стратегий игрока 2. Эти стратегии называют чистыми. Партия в такой игре сводится к тому, что игроки выби-рают свои стратегии, а затем подсчитываются их выигрыши.
Обозначим — выигрыш игрока 1, если он выбрал стратегию , а игрок 2 — стратегию . Тем самым, на множестве всех пар , где , , определена функция , которая называется функцией выигрыша игрока 1 или просто функцией вы-игрыша.
Так как игра является антагонистической, то выигрыш игрока 2 составит величину или, что то же самое, его проигрыш будет равен . Ясно, что игроку 1 вы-годно, чтобы значение было как можно больше, а игрок 2 хочет сделать его как можно меньше. Таким образом, при выборе своих стратегий оба игрока имеют дело с од-ной и той же функцией , но игрок 1 стремится ее максимизировать, а игрок 2 — мини-мизировать.
Обозначим — выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2), если он ис-пользует стратегию , а игрок 2 — стратегию . Тогда можно определить матрицу размерности , которая называется матрицей выигрышей или платежной матрицей
В этой матрице строка с номером соответствует стратегии игрока 1 и содер-жит значения его выигрышей в зависимости от ответа игрока 2. Столбец с номером со-ответствует стратегии игрока 2 и содержит его проигрыши в зависимости от ответа игрока 1.
Если такая матрица составлена, то говорят, что игра приведена к матричной форме. К этой форме можно привести любую конечную антагонистическую игру. Поэтому такие игры называют матричными.
После приведения игры к матричной форме партия состоит в выборе игроком 1 строки, а игроком 2 — столбца этой матрицы. Выигрыш игрока 1 и, соответственно, про-игрыш игрока 2 равен элементу, находящемуся на их пересечении.
Максиминная и минимаксная стратегии
Если игрок 1 выбирает -ю строку, то он гарантирует себе выигрыш . Так как он стремится максимизировать свой выигрыш, то ясно, что ему следует выбирать свою строку так, чтобы его минимальный выигрыш был максимальным, т.е. равен
(1.16)
Таким образом, , для всех .
Стратегия , соответствующая выбору строки матрицы минимальное значе-ние в которой равно , называется максиминной чистой стратегией.
Величина , вычисляемая по формуле (1.16), называется нижней ценой игры или максимином. Используя стратегию , игрок 1 обеспечивает себе выигрыш, равный , независимо от ответа своего противника. Выбирая эту стратегию, игрок 1 действует очень осторожно. Он стремится обеспечить себе гарантированный выигрыш, равный (макси-мину). Поэтому принцип рационального поведения, которому он следует, называется принципом максимина.
Этот принцип гласит: нужно выбрать такую стратегию, чтобы при наихудшем по-ведении противника получить максимальный выигрыш. Он был впервые сформулирован Дж. фон Нейманом в 1928 г. и имеет важное значение в теории игр.
Аналогично игрок 2 может определить стратегию, обеспечивающую ему мини-мальный проигрыш при любом ответе игрока 1. Для этого ему нужно найти в каждом столбце максимальное значение, равное его проигрышу при наиболее неблагоприятном для него ответе противника, т.е. величину для всех . Тогда величина
(1.17)
будет минимальным проигрышем игрока 2, который он обеспечивает себе при лю-бом ходе игрока 1. Ясно, что для всех .
Величина , вычисляемая по формуле (1.17), называется верхней ценой игры или минимаксом. Стратегия , соответствующая выбору столбца матрицы максималь-ное значение в котором равно называется минимаксной чистой стратегией.
Выбрав минимаксную чистую стратегию, игрок 2 проиграет не больше верхней це-ны игры. В этом случае он также действует в соответствии с принципом максимина.
Седловая точка
Рассмотрим случай, когда , т.е. нижняя цена игры равна ее верхней цене:
Если , то число называется ценой игры.
Оказывается, что в этом случае максиминная стратегия игрока 1 и минимаксная стратегия игрока 2 образуют так называемую седловую точку.
Пусть — платежная матрица размерности . Элемент называется седло-вой точкой матрицы , если для всех выполнены следующие неравенства:
(1.18)
то есть элемент является наименьшим в своей строке и наибольшим в своем столбце .
Чтобы проверить, имеет матрица седловую точку или нет, нужно найти в каждой строке минимум ее элементов и определить значение максимального из них - максимин. Затем следует найти в каждом столбце максимум его элементов и определить значение минимального из них - минимакс.
Если максимин равен минимаксу, то матрица имеет по крайней мере одну седловую точку. Любая седловая точка находится на пересечении строки, минимум в которой равен максимину, и столбца, максимум в котором равен минимаксу.
1.3.4. Смешанные стратегии
Игра в орлянку является примером игры, не имеющей решения в чистых стратеги-ях. В ней поведение игроков должно существенно отличаться от поведения игроков в двух других примерах. Каждый из игроков в орлянку должен вести игру так, чтобы его против-ник не мог угадать, какой выбор он собирается сделать. В противном случае тот игрок, ходы которого будут заранее известны противнику, окажется в проигрыше.
Конфликтные ситуации изучает математическая дисциплина, называемая теорией игр. Первые исследования в этой области математики проводили, изучая обычные игры (шахматы, бридж, покер и пр.), что сказалось на терминологии, используемой в теории игр.
Модель конфликтной ситуации называется игрой, а ее участники — игроками.
От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным прави-лам.
Правила игры — это допустимые действия каждого из игроков в той или иной си-туации.
Необходимо различать абстрактное понятие игры, которое фактически представля-ет собой совокупность описывающих ее правил и ее конкретные реализации — партии. Партия состоит из последовательности "ходов" каждого из игроков.
Ход — это выбор игроком одного из действий, предусмотренных правилами игры.
Ходы могут быть двух типов: личные и случайные. Выбирая личный ход, игрок действует сознательно и сделанный ход зависит только от принятого им решения. Напри-мер, любой ход в шахматах является личным. При случайном ходе выбор осуществляется игроком не после анализа возникшей ситуации, а в результате действия какого-либо меха-низма случайного выбора (бросание монеты или игральной кости).
Некоторые, так называемые "азартные" игры состоят только из случайных ходов (рулетка, игра в кости). Такие игры не изучаются теорией игр. В ней исследуются страте-гические игры, в которых есть личные ходы, (возможно, наряду со случайными). Приме-рами стратегических игр среди обычных игр могут служить шахматы, преферанс, бридж.
Правила игры должны указывать, каким будет исход любой партии для каждого иг-рока, т.е. после окончания партии должен быть определены выигрыши всех игроков. Обычно для каждого игрока считается известной его функция выигрыша или платежная функция, значение которой принимается за выигрыш игрока после завершения партии.
Количественная оценка результатов игры называется выигрышем или платежом.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих его выбор в каждой из возможных ситуаций, в которой он должен сделать свой личный ход. Иными словами, игрок уже перед началом партии знает, какой ход он будет делать в любой си-туации (выбрал стратегию своего поведения).
Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая обеспечивает ему в игре наилучший результат, т.е. максимальный выигрыш. Если играется серия пар-тий, то оптимальная стратегия должна обеспечивать максимальный средний выигрыш.
Основная задача теории игр — определить оптимальные стратегии игроков в раз-личных классах игр. При этом предполагается, что все игроки, стремясь достичь своих це-лей, действуют рационально. Эта гипотеза о рациональном поведении игроков является ключевой в теории игр.
1.3.2. Классификация игр
1. Возможность образования коалиций.
Если правила игры разрешают объединение группы участников (образование коа-лиции) для получения ими лучших результатов по сравнению с теми, которых они доби-лись бы, действуя самостоятельно, то такая игра называется кооперативной. В противном случае игра называется бескоалиционной или некооперативной.
2. По количеству стратегий.
В зависимости от числа стратегий игры делятся на "конечные" и "бесконечные". Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении конечное чис-ло стратегий, и бесконечной — в противном случае.
3. По числу игроков.
В зависимости от числа участников игры они делятся на игры с двумя, тремя и бо-лее игроками.
4. По свойствам функций выигрыша.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если в любой партии сумма выигрышей всех игроков равна нулю, т.е. каждый игрок может выиграть лишь за счет проигрыша дру-гих игроков. Если это условие не выполнено, то такая игра называется игрой с ненулевой суммой.
1.3.3. Матричные игры, разрешимые в чистых стратегиях
Самым простым является случай, когда число игроков равно двум. Такая игра на-зывается игрой двух лиц или парной. В парной игре с нулевой суммой выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу второго. Такая игра называется антагонистической. В ней интересы участников полностью противоположны. В этой главе мы будем рассматривать именно такие игры.
Любую конечную антагонистическую игру можно привести к наиболее удобной для анализа матричной форме.
Приведение игры к матричной форме
Рассмотрим конечную антагонистическую игру. Будем считать, что число страте-гий игрока 1 равно , а число стратегий игрока 2 равно . Обозначим — множество стратегий игрока 1, а — множество стратегий игрока 2. Эти стратегии называют чистыми. Партия в такой игре сводится к тому, что игроки выби-рают свои стратегии, а затем подсчитываются их выигрыши.
Обозначим — выигрыш игрока 1, если он выбрал стратегию , а игрок 2 — стратегию . Тем самым, на множестве всех пар , где , , определена функция , которая называется функцией выигрыша игрока 1 или просто функцией вы-игрыша.
Так как игра является антагонистической, то выигрыш игрока 2 составит величину или, что то же самое, его проигрыш будет равен . Ясно, что игроку 1 вы-годно, чтобы значение было как можно больше, а игрок 2 хочет сделать его как можно меньше. Таким образом, при выборе своих стратегий оба игрока имеют дело с од-ной и той же функцией , но игрок 1 стремится ее максимизировать, а игрок 2 — мини-мизировать.
Обозначим — выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2), если он ис-пользует стратегию , а игрок 2 — стратегию . Тогда можно определить матрицу размерности , которая называется матрицей выигрышей или платежной матрицей
В этой матрице строка с номером соответствует стратегии игрока 1 и содер-жит значения его выигрышей в зависимости от ответа игрока 2. Столбец с номером со-ответствует стратегии игрока 2 и содержит его проигрыши в зависимости от ответа игрока 1.
Если такая матрица составлена, то говорят, что игра приведена к матричной форме. К этой форме можно привести любую конечную антагонистическую игру. Поэтому такие игры называют матричными.
После приведения игры к матричной форме партия состоит в выборе игроком 1 строки, а игроком 2 — столбца этой матрицы. Выигрыш игрока 1 и, соответственно, про-игрыш игрока 2 равен элементу, находящемуся на их пересечении.
Максиминная и минимаксная стратегии
Если игрок 1 выбирает -ю строку, то он гарантирует себе выигрыш . Так как он стремится максимизировать свой выигрыш, то ясно, что ему следует выбирать свою строку так, чтобы его минимальный выигрыш был максимальным, т.е. равен
(1.16)
Таким образом, , для всех .
Стратегия , соответствующая выбору строки матрицы минимальное значе-ние в которой равно , называется максиминной чистой стратегией.
Величина , вычисляемая по формуле (1.16), называется нижней ценой игры или максимином. Используя стратегию , игрок 1 обеспечивает себе выигрыш, равный , независимо от ответа своего противника. Выбирая эту стратегию, игрок 1 действует очень осторожно. Он стремится обеспечить себе гарантированный выигрыш, равный (макси-мину). Поэтому принцип рационального поведения, которому он следует, называется принципом максимина.
Этот принцип гласит: нужно выбрать такую стратегию, чтобы при наихудшем по-ведении противника получить максимальный выигрыш. Он был впервые сформулирован Дж. фон Нейманом в 1928 г. и имеет важное значение в теории игр.
Аналогично игрок 2 может определить стратегию, обеспечивающую ему мини-мальный проигрыш при любом ответе игрока 1. Для этого ему нужно найти в каждом столбце максимальное значение, равное его проигрышу при наиболее неблагоприятном для него ответе противника, т.е. величину для всех . Тогда величина
(1.17)
будет минимальным проигрышем игрока 2, который он обеспечивает себе при лю-бом ходе игрока 1. Ясно, что для всех .
Величина , вычисляемая по формуле (1.17), называется верхней ценой игры или минимаксом. Стратегия , соответствующая выбору столбца матрицы максималь-ное значение в котором равно называется минимаксной чистой стратегией.
Выбрав минимаксную чистую стратегию, игрок 2 проиграет не больше верхней це-ны игры. В этом случае он также действует в соответствии с принципом максимина.
Седловая точка
Рассмотрим случай, когда , т.е. нижняя цена игры равна ее верхней цене:
Если , то число называется ценой игры.
Оказывается, что в этом случае максиминная стратегия игрока 1 и минимаксная стратегия игрока 2 образуют так называемую седловую точку.
Пусть — платежная матрица размерности . Элемент называется седло-вой точкой матрицы , если для всех выполнены следующие неравенства:
(1.18)
то есть элемент является наименьшим в своей строке и наибольшим в своем столбце .
Чтобы проверить, имеет матрица седловую точку или нет, нужно найти в каждой строке минимум ее элементов и определить значение максимального из них - максимин. Затем следует найти в каждом столбце максимум его элементов и определить значение минимального из них - минимакс.
Если максимин равен минимаксу, то матрица имеет по крайней мере одну седловую точку. Любая седловая точка находится на пересечении строки, минимум в которой равен максимину, и столбца, максимум в котором равен минимаксу.
1.3.4. Смешанные стратегии
Игра в орлянку является примером игры, не имеющей решения в чистых стратеги-ях. В ней поведение игроков должно существенно отличаться от поведения игроков в двух других примерах. Каждый из игроков в орлянку должен вести игру так, чтобы его против-ник не мог угадать, какой выбор он собирается сделать. В противном случае тот игрок, ходы которого будут заранее известны противнику, окажется в проигрыше.
Дана платежная матрица игры. Найти оптимальные смешанные стратегии игроков А и В, указать выигрыш игрока А. двумя различными способами:
1. Используя принцип доминирования удалите сточку и столбец, и решите игру 2х2;
2. Используя принцип доминирования вычеркните строку, сведите задачу по теории игр к паре взаимодвойственных задач линейного программирования и решите графически.
1. Используя принцип доминирования удалите сточку и столбец, и решите игру 2х2;
2. Используя принцип доминирования вычеркните строку, сведите задачу по теории игр к паре взаимодвойственных задач линейного программирования и решите графически.
5) Решить задачу линейного программирования. Найти максимальное значение целевой функции ... при ограничениях:...
Наши гарантии:
Финансовая защищенность
Опытные специалисты
Тщательная проверка качества
Тайна сотрудничества