Математика - готовые работы

1. Введение
В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы класси¬ческих вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладки¬ми или регулярными, часто игнорировались как «патологические» и не стоящие изучения.
В последние годы отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) изменилось, ибо нерегулярные функции (мно¬жества) обеспечивают значительно лучшее представление многих при¬родных явлений, чем те, которые дают объекты классической геомет-рии.
Фрактальная геометрия связана с изучением таких нерегулярных множеств. Основной объект фрактальной геометрии – фракта¬лы – находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алго¬ритмах сжатия информации. Столь популярные ныне фрактальные объ¬екты – порождение нашего компьютерного мира, и их сфера примене¬ния еще до конца не раскрыта.
В последние 30 лет фракталы стали очень популярны. Большую роль в этом сыграла книга франко – американского математика Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В настоящее время нет однозначного определения «фракта¬ла». Следуя Лаверье, фрактал – это геометрическая фигура, в кото¬рой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении мас¬штаба. Фракталы, обладающие этим свойством и получающиеся в ре¬зультате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных пре¬образований), будем называть конструктивными фракталами. Таким образом, конструктивный фрактал – это множество, получающееся в результате линейных (аффинных) сжимающих отображений подобия. Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной «точкой» – фракталом.
Наряду с конструктивными фракталами были обнаружены множества, которые похожи на фракталы. Как правило, подобные множества возникают в нелинейных динамических системах и, в первую очередь, в дискретных динамических системах. Их построение не так просто, как в случае конструктивных фракталов, и они могут обладать масштабной инвариантностью лишь приближенно. Подобные множест¬ва будем называть динамическими фракталами. В связи с этим Мандельброт ввел другое определение фрактала. Фрактал – это такое мно¬жество, которое имеет хаусдорфову (или фрактальную) размерность, большую топологической.
В первом определении слово «фрактал» – это от латинского «fractus», означающее изломанный. Во втором определении оно связано с английским «fractional» – дробный.
Примером конструктивного фрактала может служить дерево, ствол которого разделен на две более мелкие ветви. В свою очередь, каждая из этих ветвей разделяется на две более мелкие ветви и т. д. В уме мы можем проделать эту процедуру бесчисленное число раз и получить древовидный фрактал с бесконечным числом ветвей. Каждую отдельную ветвь можно, в свою очередь, рассматривать как отдельное дерево. Эта конструкция имеет сходство с двоичной системой счисления. Другой пример фрактала – это множество Кантора. Это не только один из самых старых фракталов, он является так же существенной ча¬стью многих современных фракталов, например, таких, как кривые Ко¬ха и Минковского.
Понятие «фрактал» уже доказало свою пользу в ряде прикладных областей. Например, если вводить случайное возмущение в регу¬лярный математический древовидный фрактал, можно добиться сходст¬ва с настоящим деревом. Фракталы используются при анализе и клас¬сификации сигналов сложной формы, возникающих в разных областях, например при анализе колебаний курса валют в экономике. Они приме¬няются в физике твердого тела, в динамике активных сред и т.д.
В настоящее время фракталы используются для сжатия изображений. Идея фрактального сжатия состоит в нахождении в изображении подобных областей и сохранении в файле только коэффициентов преобразований подобия. Например, в качестве таких областей можно брать квадратные области. Набор преобразований подобия – это сдвиг, отражение, поворот и изменение яркости с контрастностью. Сжатие происходит в случае, если коэффициенты преобразований займут места меньше, чем исходное изображение.
Так же фракталы применяются в 3D графике (для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий, ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски, моделей биологических объектов), в механике жидкостей (для описания процессов динамики и турбулентности сложных потоков, моделирования пламени, изучения пористых материалов, в том числе в нефтехимии), в биологии (моделирование популяции, биосенсорные взаимодействия, процессы внутри организма), в проектировании антенных устройств и так далее.
Структуры, похожие на фракталы, можно обнаружить в окружающей нас природе: границы облаков, границы морских побережий, турбулентные потоки в жидкостях, трещины в некоторых породах, зим¬ние узоры на стекле, изображения структуры некоторых веществ, полу¬ченные с помощью электронного микроскопа, кровеносная система сер¬дечной мышцы и т.д.
Чтобы прояснить неточные определения конструктивных и динамических фракталов, укажем основные свойства фрактальных множеств F:
F имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно малые масштабы;
F слишком нерегулярное, чтобы быть описанным на традиционном
геометрическом языке;
F имеет некоторую форму самоподобия, допуская приближенную или
статистическую;
Обычно «фрактальная размерность» множества F больше, чем его
топологическая размерность;

Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Выдвигается и проверяется гипотеза о том что истинное значение коэффициента регрессии=0.
Для проверки гипотезы используется критерий Стьюдента.

«Математическая физика – это математический аппарат изучения физических полей – одного из центральных объектов современной физики. Термин «математическая физика» имеет и более узкий, классический, смысл. Именно под математической физикой понимают только такой математический аппарат изучения физических полей, который не связан непосредственно со сравнительно более поздними атомными, статическими, релятивистскими и квантовыми представлениями. Этот аппарат является основой теоретической гидромеханики, теории теплопроводности, теории упругости, классической части теории электромагнитного поля. Поля, рассматриваемые в этих классических разделах физики, оказывается возможным в том или ином смысле трактовать как механические системы с бесконечным числом степеней свободы, что и обусловило общность соответствующего математического аппарата.
Математическая физика является, быть может, одним из самых значительных достижений человеческого разума. Открытия огромного значения возникли благодаря математической формулировке физических явлений и математическому анализу и обобщению результатов опыта.
Математическая физика не ограничивается только получением математических соотношений, описывающих найденные из опыта зависимости между физическими величинами. Нужно подчеркнуть ее роль в формировании понятий, идей, образов. Упорные занятия математической физикой ведут к появлению своеобразной интуиции: общие свойства решений становятся столь же наглядно очевидными, как очевидно падение подброшенного камня.
Математическая физика имеет свою эстетику, свои понятия о красоте формулы, результата, теории. Подобно тому, как древние греки выработали определенные каноны и пропорции идеального человеческого тела, в математической физике установились определенные формальные требования к возводимой теории. Так, если какие-либо объекты являются в рамках данной теории в том или ином смысле инвариантными, то эта инвариантность должна наглядно проявляться в формулах, связывающих эти объекты. Теория должна удовлетворять общим принципам сохранения количества движения и энергии. Заметим, кстати, что оба этих принципа тесно связаны между собой, и выявление этой связи также есть заслуга математической физики». Такими словами начинается книга Дмитрия Петровича Голоскокова «Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple» - одна из основных книг, по которым писалась эта работа.
Данная работа состоит из трех частей: теория, аналитическое решение и решение численное. В теоретической части рассказывается о трех основных типах уравнений математической физики: волновом уравнении, уравнении теплопроводности и уравнении Лапласа. В аналитической части эти уравнения решаются аналитически, т.е. выводится общий вид их решения. А в численной части задачи, решенные аналитически, решаются численно с помощью математического пакета Maple.